超完全数

超完全数（superperfect number）是指一正整数 n 满足下式：

${\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,,}$

其中σ为除数函数。超完全数可视为一种广义的完全数，其英文superperfect number是由Suryanarayana在1969年开始使用^[1]。

以4为例，4的约数有1, 2, 4，除数函数${\displaystyle \sigma (4)=1+2+4=7}$，其约数为1, 7，${\displaystyle \sigma (\sigma (4))=1+7=8=4\times 2}$，因此, 4是超完全数。

头几个超完全数是：

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144 （OEIS数列A019279）。

若n是偶数的超完全数，则n一定是2的乘幂2^k，而且2^k+1-1为梅森素数^[1][2]。

目前还不知道是否存在奇数的超完全数，若存在奇数的超完全数n，n会是一个平方数，且n或σ(n)需为三个相异素数的倍数^[2]。已知在小于7x10²⁴的整数中没有奇数的超完全数^[1]。

广义的超完全数

完全数及超完全数都可视为是范围更大的m-超完全数的特例，m-超完全数满足下式：

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=2n,}$

m=1及2时分别是完全数及超完全数，若m ≥ 3，不存在偶数的m-超完全数^[1]。

m-超完全数则是(m,k)-完全数的特例，(m,k)-完全数满足下式^[3]：

${\displaystyle \sigma ^{m}(n)=kn\,.}$

若依此表示法，一般的完全数为(1,2)-完全数，多重完全数是(1,k)-完全数，超完全数是(2,2)-完全数，m-超完全数则是(m,2)-完全数^[4]。以下是一个(m,k)-完全数的范例：

m	k	(m,k)-完全数	OEIS 数列
2	3	8, 21, 512	A019281
2	4	15, 1023, 29127	A019282
2	6	42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024	A019283
2	7	24, 1536, 47360, 343976	A019284
2	8	60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072	A019285
2	9	168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936	A019286
2	10	480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296	A019287
2	11	4404480, 57669920, 238608384	A019288
2	12	2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120	A019289
3	任意数	12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ...	A019292
4	任意数	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ...	A019293

参考资料

1. Guy (2004) p.99
2. Weisstein, Eric W. (编). Superperfect Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. Cohen & te Riele (1996)
4. Guy (2007) p.79

• Superperfect Number at PlanetMath.
• Cohen, G. L.; te Riele, H. J. J. Iterating the sum-of-divisors function. Experimental Mathematics. 1996, 5: 93–100. Zbl 0866.11003.
• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. B9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
• Suryanarayana, D. Super perfect numbers. Elem. Math. 1969, 24: 16–17. Zbl 0165.36001.