在集合论和数学的其他分支中,存在补集的两种定义:相对补集和绝对补集。
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相对补集
若
和
是集合,则
在
中的相对补集是由所有属于
但不属于
的元素组成的集合。
在
中的相对补集记为
或
。
形式上:
![{\displaystyle B\setminus A=\{x\in B\mid x\not \in A\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3daa701e949f3d81729d011aad442f6d26119c)
例如:
![{\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3804c51bf7a8345352906cedde09d2bc59e226ea)
![{\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba60c7cfb82fcc11a6a85a4856aa917d8cb3075d)
- 若
是实数集合,
是有理数集合,则
为无理数集合。
下列命题给出一些相对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些常用性质。
命题1:若
是集合,则下列等式恒成立:
![{\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62256681e906daba7376fb07b3ce0d060ee66777)
![{\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9645ff17cf12f478ebd4eeb16087a867b2ea9622)
![{\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb1e4c66153acc88f4b2a3398ddcfd5058ec5404)
![{\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69913a4fc3629d6073e0f9daafa3d187dfc14225)
![{\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7f714f1b2afeedc674e0633feb88bc3026c9d2)
![{\displaystyle A\setminus A=\varnothing }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2522c387694b6da6b63c14b8f39b71c9f1f2f2)
![{\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0982092cb13788532476737a7c4dfad5a7896c0)
![{\displaystyle A\setminus \varnothing =A}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f215ced970c31fc4143d0521af163dc85af379d)
补集的符号在Unicode中为数学运算符区段中的“∁”(Unicode:U+2201)。