自由模

在抽象代数中，一个环 ${\displaystyle R}$ 上的自由模是带有基底的模。

定义

一个自由 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$ 是 ${\displaystyle R}$-模范畴中的自由对象。具体言之，即存在一族元素 ${\displaystyle \{m_{i}\}_{i\in I}}$（可能有无限多个）使得：

• 任何 ${\displaystyle m\in M}$ 都可表成它们的线性组合 ${\displaystyle m=\sum _{i\in I}r_{i}m_{i}}$，其中只有有限个 ${\displaystyle r_{i}}$ 非零。
• 若 ${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}m_{i}=\sum _{i\in I}r_{i}'m_{i}}$，则 ${\displaystyle \forall i,\;r_{i}=r_{i}'}$。

等价说法是：${\displaystyle M\simeq R^{I}}$。此时 ${\displaystyle \{m_{i}\}_{i\in I}}$ 称作 ${\displaystyle M}$ 的一组基底。

性质

• ${\displaystyle M}$ 的秩可定义为 ${\displaystyle I}$ 的基数，与基底选取无关。
• 自由模皆是射影模，也是平坦模。
• 若接受选择公理，则任何除环上的模都是自由模，例如域上的向量空间。