群子集的乘积

在数学，若S和T为群G的子集，则其乘积为G的子集，其定义为

${\displaystyle ST=\{st:s\in S{\mbox{ and }}t\in T\}}$

其中，S和T不必然需要是子群。其乘积的结合律源自群的结合律。因此，群子集的乘积定义出了一个于G幂集上的自然幺半群结构。

即使S和T为G的子群，其乘积也不必然会是个子群。其乘积为子群当且仅当ST = TS。在这一情形之下，ST会是个由S和T生成出的群，即ST = TS = <S ∪ T>。若S或T有一是G的正规子群，上述情形便会满足，ST会是个子群。设S是正规子群，则根据第二同构定理，S ∩ T是T的正规子群且ST/S 同构于 T/(S ∩ T)。

若G为一有限群，且S和T为G的子群，则ST的元素个数可由乘积公式给定：

${\displaystyle |ST|={\frac {|S||T|}{|S\cap T|}}}$

即使S和T都不是正规子群，上述公式也一样适用。

特别地，如果S和T的交集仅为单位元，那么ST的每一个元素都可以唯一地表示为乘积st，其中s位于S内，t位于T内。如果 S和T还是可交换的，那么ST就是一个群，称为扎帕-塞普乘积。更进一步，如果S或T在ST中正规，那么ST便称为半直积。最后，如果S和T都在ST中正规，那么ST便称为直积。

引用

• Rotman, Joseph. An Introduction to the Theory of Groups (4th ed.). Springer-Verlag. 1995. ISBN 0-387-94285-8.

另见

• 直积
• 准直积