线性化重力

线性化重力（英语：Linearized gravity）是广义相对论中一个近似方案，其忽略时空度规张量的非线性贡献。这使得许多研究问题得以简化。

方法

线性化重力中，时空度规张量${\displaystyle g}$处理为爱因斯坦场方程的一个解（通常是闵可夫斯基时空）与一摄动项${\displaystyle h}$两者之和：

${\displaystyle g\,=\eta +h}$

其中η是非动态的背景度规，而被摄动了${\displaystyle h}$——代表真实度规g自平直时空η偏移了多少。

摄动项的处理是采用摄动理论的方法。形容词“线性化”表示对h作展开式，超过1次方（线性项）以上的摄动项（h的二次方项、h的三次方项等等……）被忽略。

线性化重力下的爱因斯坦重力场方程[1]

已知 $${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$$

因此，克里斯托费尔符号可以被写为

$${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}\eta ^{\alpha \delta }(\partial _{\beta }h_{\delta \gamma }+\partial _{\gamma }h_{\beta \delta }-\partial _{\delta }h_{\beta \gamma })+{\mathcal {O}}(|h|)}$$

由于黎曼曲率张量可以被表达成

$${\displaystyle R_{bcd}^{a}=\partial _{c}\Gamma _{bd}^{a}-\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\Gamma _{cm}^{a}\Gamma _{bd}^{m}-\Gamma _{dm}^{a}\Gamma _{bc}^{m}}$$

因此，里奇曲率张量可被写为

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mu \nu }&=\partial _{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \alpha }^{\alpha }\\&={\frac {1}{2}}\{h_{\ \nu ,\mu \alpha }^{\alpha }+h_{\ \mu ,\nu \alpha }^{\alpha }-h_{\mu \nu ,\alpha }^{\ \ \ \ \ \alpha }-h_{\ \alpha ,\mu \nu }^{\alpha }-h_{\ \mu ,\alpha \nu }^{\alpha }+h_{\mu \alpha ,\nu }^{\ \ \ \ \ \alpha }\}\end{aligned}}}$$

因此，爱因斯坦张量 与爱因斯坦重力场方程可被写为

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\mu \nu }&=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\\&={\frac {1}{2}}\{\partial _{\mu }\partial _{\alpha }h_{\ \nu }^{\alpha }+\partial _{\nu }\partial _{\alpha }h_{\ \mu }^{\alpha }-\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }h_{\mu \nu }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h\}-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }(\partial _{\alpha }\partial _{\beta }h^{\alpha \beta }-\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }h)\\&=8\pi T_{\mu \nu }\end{aligned}}}$$

若选择适当的规范，线性化重力场的爱因斯坦场方程可以被写为一个二阶的波方程。

1. Misner, Charles; Thorne, Kip; Wheeler, John. Gravitation. Princeton University Press. 2017. ISBN 9780691177793.