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在拓朴图论中,嵌入图的皮特里对偶(Petrie Dual)是指所有面皆为2-流形盘面之嵌入图的另一种嵌入,且是含有前述嵌入图之嵌入对象的皮特里多边形作为维面的图嵌入[1]。皮特里对偶亦可以作为一种多面体变换,称为皮特里变换(Petrie Operation),其会将原像的面以皮特里多边形做替换,然而变换结果通常会因为面转变为无法确定唯一封闭区域的皮特里多边形而导致体积与表面积不存在。[2]
皮特里对偶与一般的对偶变换一样,可做透过重复做两次相同变换使其变回原像[4]。而皮特里对偶与一般的对偶变换不同之处在于,一般的对偶变换是在同一个曲面上嵌入不同的图,而皮特里对偶是将相同图的嵌入在不同的曲面上。[1]
对正多面体做皮特里变换可以得到正则地区图[3]。其变换结果会有g/2h个扭歪h边形,其中g为群的阶数、h为群的考克斯特数。举例来说,立方体的皮特里对偶是一个二分图,由4个[注 1]扭歪六边形组成,每个扭歪六边形环绕于立方体的赤道面上。在拓扑上,这个变换等同将图嵌入到环面上。[1]
凸正多面体的皮特里对偶列举如下[2]:
名称 | 皮特里正四面体 | 皮特里立方体 | 皮特里正八面体 | 皮特里正十二面体 | 皮特里正二十面体 |
---|---|---|---|---|---|
施莱夫利符号 | {3,3}π , {4,3}3 | {4,3}π , {6,3}4 | {3,4}π , {6,4}3 | {5,3}π , {10,3} | {3,5}π , {10,5} |
(顶点数,边数,面数), χ | (4,6,3), χ = 1 | (8,12,4), χ = 0 | (6,12,4), χ = −2 | (20,30,6), χ = −4 | (12,30,6), χ = −12 |
面 | 3个正扭歪四边形 |
4个正扭歪六边形 | 6个正扭歪十边形 | ||
图像 | |||||
旋转动画 | |||||
相关图 | {4,3}3 = {4,3}/2 = {4,3}(2,0) |
{6,3}3 = {6,3}(2,0) |
{6,4}3 = {6,4}(4,0) |
{10,3}5 |
{10,5}3 |
非凸正多面体也有对应的皮特里对偶列举如下[2]:
名称 | 皮特里大十二面体 | 皮特里小星形十二面体 | 皮特里大二十面体 | 皮特里大星形十二面体 |
---|---|---|---|---|
施莱夫利符号 | {5,5/2}π , {6,5/2} | {5/2,5}π , {6,5} | {3,5/2}π , {10/3,5/2} | {5/2,3}π , {10/3,3} |
(顶点数,边数,面数), χ | (12,30,10), χ = -8 | (12,30,10), χ = -8 | (12,30,6), χ = -12 | (20,30,6), χ = -4 |
面 | 10个正扭歪六边形 | 6个正扭歪十边形 | ||
图像 | ||||
旋转动画 |
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