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逻辑中的皮尔士定律(Peirce's law)得名于哲学家和逻辑学家查尔斯·桑德斯·皮尔士。它被接受为他的第一个公理化命题逻辑中一个公理。这个公理是排中律的推论。
在命题演算中,皮尔士定律说的是 ((P→Q)→P)→P。 也就是说,如果你能证明 P 蕴含 Q 强制 P 是真的,则 P 必定是真的。
在只使用否定和蕴涵运算符的命题演算中,A ∨ B 表示为 (A → B) → B。皮尔士定律等价于 (P → Q) ∨ P 也就是 ¬P ∨ Q ∨ P ,所以它是排中律的推论。
皮尔士定律允许你通过使用演绎定理来增强证明定理的技术。假设给你一组前提 Γ 而你希望从它们演绎出命题 Z。通过皮尔士定律,你可以向 Γ 增加(没有代价)额外的形如 Z→P 的前提。例如,假设我们给出了 P→Z 和 (P→Q)→Z 并且希望演绎出 Z,那么我们可以使用演绎定理来结论出 (P→Z)→(((P→Q)→Z)→Z) 是定理。接着我们可以增加另一个前提 Z→Q。从它和 P→Z,我们可以得到 P→Q。接着我们应用肯定前件于 (P→Q)→Z 作为它的大前提来得到 Z。运用演绎定理,我们得到 (Z→Q)→Z 从最初的前提得出。接着我们以 ((Z→Q)→Z)→Z 的形式使用皮尔士定律和肯定前件来从最初的前提推导 Z。我们就完成了最初预期的定理证明。
皮尔士定律的重要体现在它可以在只使用蕴涵的逻辑中替代排中律(参见蕴涵命题演算)。可以从公理模式:
(这里的 P,Q,R 只包含“→”作为连结词)演绎出的句子是只使用“→”作为连结词的所有重言式。
下面是皮尔士自己的定律陈述:
{(x —< y) —< x} —< x。 |
皮尔士接着指出了这个定律的一个直接应用:
{(x —< y) —< a} —< x, |
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