球状屋顶

球状屋顶（日语：球形屋根、英语：Sphenocorona）是一种由12个三角形和2个正方形组成的十四面体^[1]，为约翰逊多面体的其中一个，其所引为J₈₆。它无法由帕雷托立体（正多面体）和阿基米得立体（半正多面体）经过切割、增补而得来，是约翰逊多面体中的基本立体之一。其外观为在两个正方形“屋顶”下由多个正三角形以扭曲的球体状排列组合而成。约翰逊多面体是凸多面体，面皆由正多边形组成但不属于均匀多面体，共有92种。这些立体最早在1966年由诺曼·约翰逊（英语：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名并给予描述^[2]。

提示：此条目的主题不是球状的屋顶。

球状屋顶

类别	约翰逊多面体 J85 - J86 - J87
识别
名称	球状屋顶 sphenocorona
别名	球形屋根（日语）
参考索引	J86
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	waco
性质
面	14
边	22
顶点	10
欧拉特征数	F=14, E=22, V=10 （χ=2）
组成与布局
面的种类	2×2+2×4个三角形 2个正方形
顶点图	4个(33.4) 2个(32.42) 2×2个(35)
对称性
对称群	C2v群
特性
凸
图像
（展开图）
查 论 编

部分化学物质的分子结构为球状屋顶^[3]。

性质

球状屋顶共由14个面、22条边和10个顶点所组成^[4][5][6][7]。在其14个面中，有12个三角形面和2个正方形面^[5]。在其10个顶点中，有4个顶点是5个正三角形的公共顶点^[7]，在顶点图中可以用[3⁵]来表示^[8]、还有4个顶点是3个三角形和1个正方形的公共顶点^[7]，在顶点图中可以用[3³,4]来表示^[8]、剩余的2个顶点是2个三角形和2个正方形的公共顶点^[7]，在顶点图中可以用[3²,4²]来表示^[8]。

体积与表面积

若一个球状屋顶边长为${\displaystyle a}$，则其表面积${\displaystyle A}$为：^[9]

${\displaystyle A=\left(2+3{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 7.19615a^{2}}$^[10]

而其体积${\displaystyle V}$为：

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}\right)a^{3}\approx 1.51535a^{3}}$^[11]

顶点座标

边长为单位长的球状屋顶的顶点座标为：^[12]

${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {6+{\sqrt {6}}+2{\sqrt {3\left(71-19{\sqrt {6}}\right)}}}{30}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\,0,\,{\tfrac {\sqrt {6\left(41{\sqrt {6}}-44+2{\sqrt {2743-977{\sqrt {6}}}}\right)}}{30}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\,\pm {\frac {1}{2}},\,-{\tfrac {\sqrt {6\left(1+36{\sqrt {6}}-2{\sqrt {2\left(269+9{\sqrt {6}}\right)}}\right)}}{30}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\,\pm {\tfrac {9-{\sqrt {6}}+2{\sqrt {3\left(71-19{\sqrt {6}}\right)}}}{30}},\,{\tfrac {\sqrt {6\left(18{\sqrt {6}}-37\right)}}{15}}\right)}$

另外一种球状屋顶的顶点座标的表示方法可以用来表达边长为2的球状屋顶的顶点座标。首先令k ≈ 0.85273为下列四次式的最小实根：

${\displaystyle 60x^{4}-48x^{3}-100x^{2}+56x+23.}$

则边长为2的球状屋顶之顶点座标可以由下列顶点的轨道的并集在沿xz平面和yz平面镜射所产生的空间对称群之群作用下给出：^[13]

${\displaystyle \left(0,1,2{\sqrt {1-k^{2}}}\right),\,(2k,1,0),\left(0,1+{\frac {\sqrt {3-4k^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}}}},{\frac {1-2k^{2}}{\sqrt {1-k^{2}}}}\right),\,\left(1,0,-{\sqrt {2+4k-4k^{2}}}\right)}$

相关多面体

球状屋顶欠侧锥

球状屋顶欠侧锥（Diminished sphenocorona）是指从球状屋顶上移除一个五角锥所构成的立体，然而，直接将五角锥从球状屋顶移除将会出现一个不共面五边形，无法构成多面体，需要将顶点位置些微调整，才能将五边形面放置到移除五角锥的位置，这将导致球状屋顶欠侧锥的面仅是很接近正多边形而不是正多边形，因此是一种拟约翰逊多面体。^[14]

球状屋顶欠侧锥的面有一个五边形-正方形-正方形的相连结构，且这结构周围由三角形包覆填满，这样的结构使得球状屋顶欠侧锥可以视为一系列楔形立体的成员之一。楔形立体由n边形-正方形-(n−1)边形的相连结构加上三角形包覆填满构成，这类立体都是拟约翰逊多面体，而球状屋顶欠侧锥的情况则是五边形-正方形-正方形，因此又可称为{4}-{5}楔形（{4}-{5} wedge）^[15]。这类立体的面无法全部由正多边形组成，其面的扭曲在正方形面的附近尤为明显，三角形-三角形边的扭曲最大可达0.19。^[14]

球状屋顶欠侧锥共由10个面、17条边和9个顶点组成，在其10个面中，有7个三角形、2个正方形和1个五边形。其9个顶点中，有2个是2个三角形和2个正方形的公共顶点，在顶点图中可以用3.3.4.4来表示；还有2个顶点是3个三角形和1个正方形的公共顶点，在顶点图中可以用3.3.3.4来表示；还有2个顶点是1个三角形、1个正方形和1个五边形的公共顶点，在顶点图中可以用3.4.5来表示；以及3个顶点是3个三角形和1个五边形的公共顶点，在顶点图中可以用3.3.3.5来表示。

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  球状屋顶
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  球状屋顶欠侧锥
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  球状屋顶欠侧锥的3D模型
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  球状屋顶欠侧锥的展开图

其他立体

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  球状屋顶
  （原始的球状屋顶立体）
• 
  球状屋顶欠侧锥
  （移除一个五角锥的球状屋顶）
• 
  侧锥球状屋顶
  （在正方形面叠上正四角锥的球状屋顶）
• 
  加长型球状屋顶
  （正方形附近的4个位置上各加上1个正三角形的球状屋顶）
• 
  广底加长型球状屋顶
  （“屋顶”部分由3个正方形组成的球状屋顶）
• 
  广底加长型球状屋顶欠侧锥
  （移除一个五角锥的广底加长型球状屋顶）
• 
  五角锥球状屋顶
  （合并两个移除了两个正三角形的球状屋顶）

参见

• 约翰逊多面体
• 多面体
• 帕雷托立体
• 半正多面体

参考文献

1. Santiago Alvarez. Polyhedra in (Inorganic) Chemistry (PDF). Electronic Supplementary Information for Dalton Transactions. 2005 [2022-09-25]. （原始内容存档 (PDF)于2022-01-21）.
2. Johnson, Norman W.（英语：Norman Johnson (mathematician)）, Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英语：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8
3. Maria-Gabriela Alexandru, Diana Visinescu, Sergiu Shova, Willian X. C. Oliveira, Francesc Lloret, Miguel Julve. Design of 3d–4f molecular squares through the [Fe{(HB(pz) 3 )}(CN) 3 ] − metalloligand. Dalton Transactions. 2018, 47 (17): 6005–6017 [2022-09-10]. ISSN 1477-9226. doi:10.1039/C8DT00895G （英语）.
4. V.Bulatov. sphenocorona. [2022-09-10]. （原始内容存档于2022-09-10）.
5. David I. McCooey. Johnson Solids: Sphenocorona. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-10）.
6. The Sphenocorona. qfbox.info. [2022-09-10]. （原始内容存档于2022-09-10）.
7. Sphenocorona. polyhedra.tessera.li. [2022-09-10]. （原始内容存档于2022-09-10）.
8. Richard Klitzing. sphenocorona, waco. bendwavy.org. [2022-09-10]. （原始内容存档于2022-11-14）.
9. Wolfram, Stephen. "Sphenocorona". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
10. Wolfram Research, Inc. Wolfram|Alpha Knowledgebase. Champaign, IL. 2020. PolyhedronData[{"Johnson", 86}, "SurfaceArea"]
11. Wolfram Research, Inc. Wolfram|Alpha Knowledgebase. Champaign, IL. 2020. PolyhedronData[{"Johnson", 86}, "Volume"]
12. David I. McCooey. Data of Sphenocorona. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-10）.
13. Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 718. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0.
14. Johnson Solid Near Misses: Number 7. [2013-03-07]. （原始内容存档于2014-05-02）.
15. Miscellaneous Polyhedra: "Wedges". [2022-02-03]. （原始内容存档于2023-02-03）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Johnson Solid. MathWorld.
  • 埃里克·韦斯坦因. Sphenocorona. MathWorld.