特征方程式
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特征方程式(characteristic equation)或辅助方程式(auxiliary equation)[1]为数学名词,是对应n阶微分方程[2]或差分方程(英语:linear difference equation)[3][4]的n次(英语:Degree of a polynomial)代数方程式。只有线性齐次常系数的微分方程或差分方程才有特征方程式[1]。考虑一微分方程,其因变量为y,an, an − 1, ..., a1, a0为常数
其特征方程式如下
根据其解r1, r2, ..., rn可以产生微分方程的通解[1][5][6]。而一个线性差分方程
也有其特征方程式
特征方程式的根也可以提供动态方程的特性信息。若是一个自变量为时间的微分方程,其因变量稳定的充份必要条件是每一个根的实部都是负值。若是差分方程,稳定的充份必要条件是每一个根的绝对值都小于1。针对这两种系统,若是有复数根,表示其解会振荡。
线性常系数常微分方程的积分求解法是由莱昂哈德·欧拉发现,他也发现了其解的特性和代数的“特征方程”有关[2]。后来法国科学家奥古斯丁·路易·柯西及加斯帕尔·蒙日也提及欧拉的特征方程,而且提到不少细节[2][6]。