模糊集是模糊数学上的一个基本概念,是数学上普通集合的扩展。
模糊集可以记为。映射(函数)或简记为叫做模糊集的隶属函数。对于每个, 叫做元素对模糊集的隶属度。
模糊集的常用表示法有下述几种:
- 解析法,也即给出隶属函数的具体表达式。
- Zadeh记法,例如。分母是论域中的元素,分子是该元素对应的隶属度。有时候,若隶属度为0,该项可以忽略不写。
- 序偶法,例如,序偶对的前者是论域中的元素,后者是该元素对应的隶属度。
- 向量法,在有限论域的场合,给论域中元素规定一个表达的顺序,那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式,如。
设 为 上的模糊集(记作 ),任取 ,则
- ,
称为的截集,而称为阈值或置信水平。将上式中的替换为,记为,称为强截集。
截集和强截集都是经典集合。此外,显然为的核,即;如果,则称为正规模糊集,否则称为非正规模糊集。
截积是数与模糊集的积:
设,,则,与的截积(或称为截集的数乘,记为)定义为:
根据定义,截积仍是上的模糊集合。
分解定理:
设,则
即任一模糊集都可以表达为一族简单模糊集的并。也即,一个模糊集可以由其自身份解出的集合套而“拼成”。
表现定理:
设为上的任何一个集合套,则
是上的一个模糊集,且,有
(1)
(2)
即任一集合套都能拼成一个模糊集。
- Zadeh 算子,即为并,即为交
- Hamacher 算子,其中是参数,等于1时转化为代数算子,等于2时转化为 Einstein 算子
- Yager 算子,其中是参数,等于1时转化为有界算子,趋于无穷时转化为 Zadeh 算子
- 算子,其中是参数
- Dobois-Prade 算子,其中是参数
参见集合代数和布尔代数。
主要算子的性质对比表如下(.
表示不满足,-
表示未验证):
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算子 |
结合律 |
交换律 |
分配律 |
互补律 |
同一律 |
幂等律 |
支配律 |
吸收律 |
双重否定律 |
德·摩根律
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Zedah
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有界
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线性补偿是指:[5]
More information 算子的并运算, 幂等律 ...
算子的并运算 |
幂等律 |
排中律 |
分配律 |
结合律 |
线性补偿
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Zadeh
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代数
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有界
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Hamacher r = 0
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Yager
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Hamacher
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Dobois-Prade
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主条目:贴近度
另一种是使用贴近度概念。在某种意义上,贴近度就是 1 - 距离(这里的距离是上述标准化意义上的距离)。而之所以应用这个变换,是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近,贴近的程度显然越“高”,因此它恰为距离的反数。
除了距离外,还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。
要注意,严格地说,模糊集或子集是映射所确定的序对集,但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定,因而我们不区分映射和映射所确定的序对集,而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。
D. Dubois and H. Prade (1988) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York.
陈水利等,模糊集理论及其应用,科学出版社,2005年,第20页。
Etienne E. Kerre 等,模糊集理论与近似推理,武汉大学出版社,2004年,第103页。