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根轨迹图(root locus)是控制理论及稳定性理论中,作图分析的方式,可以看到在特定参数(一般会是反馈系统的环路增益)变化时,系统极点的变化。根轨迹图是由Walter R. Evans所发展的技巧,是经典控制理论中的稳定性判据,可以判断线性时不变系统是否稳定。
除了确认系统的稳定性外,根轨迹图也可以用来设计反馈系统的阻尼比(ζ)及自然频率(ωn)。定阻尼比的线是从原点往外延伸的线,而固定自然频率的线是圆心在原点的圆弧。在根轨迹图上选择有想要的阻尼比及自然频率的点,可以计算增益K并且实现其控制器。在许多教材科书上有利用根轨迹图设计控制器的精细技巧,例如超前-滞后补偿器、PI、PD及PID控制器都可以用此技巧来近似设计。
以上使用阻尼比及自然频率的定义,前提是假设整个反馈系统可以用二阶系统来近似,也就是说系统有一对主要的复数极点,不过多半的情形都不是如此,因此在实做时仍需要针对系统再进行模拟,确认符合需求。
反馈系统的根轨迹图是用作图的方式在复数s-平面上画出在系统参数变化时,反馈系统闭环极点的可能位置。这些点是根轨迹图中满足角度条件(angle condition)的点。根轨迹图中特定点的参数数值可以用量值条件(magnitude condition)来计算。
假设有个反馈系统,输入信号、输出信号。其顺向路径传递函数为,反馈路径传递函数为。
因此,闭环传递函数的极点为特征方程式的根,方程式的根可以令来求得。
若是一个没有纯粹延迟的系统,的乘积为有理的多项式函数,可以表示为[2]
其中为个零点,为个极点,而为增益。一般而言,root locus diagram会标示在不同参数时,传递函数极点的位置。而root locus plot就会画出针对任意值下,使的极点 ,但无法看出值变化时,极点移动的趋势。
因为只有的系数以及简单的单项,此有理多项式的值可以用向量的技巧来计算,也就是将量值相乘或是相除,角度相加或是相减。向量公式的由来是因为有理多项式的每一个因式就表示一个s-平面下由到的向量,因此可以透过计算每一个向量的量值及角度来计算多项式。
根据矩阵数学,有理多项式的相角等于所有分子项的角度和,减去所有分母项的角度和。因此若要测试s-平面上的一点是否在根轨迹图上,只要看开环的零点及极点即可,这称为角度条件。
有理多项式的量值也是所有分子项的量值乘积,再除以所有分母项量值的乘积。若只是要确认一个s-平面上的点是否在根轨迹图上,不需要计算有理多项式的量值,因为值会变,而且可以是任意的整数。针对根轨迹图上的每一点,都可以计算其对应的值,此即为量值条件。
以前绘制根轨迹图会使用名叫Spirule的特殊量角器,可以用来确认角度并且绘制根轨迹图[3]
根轨迹图只能提供在增益变化时闭环极点的位置信息。的数值不影响零点的位置,闭环零点和开环的零点相同。
复数s平面上的点若满足下式,即符合角度条件(angle condition)
其中为整数。
也就是说
开环零点到点角度的和,减去开环极点到点角度的和,除后的余数需等于。
在根轨迹图上的特定点,数值若使下式成立,就符合量值条件(magnitude condition)
也就是说
利用一些基本的技巧,可以用根轨迹法绘制K值变化时极点的轨迹。根轨迹图可以看出反馈系统在不同 下的稳定性以及动态特性[4][5]。其规则如下:
令P为极点的个数,Z为零点的个数,两者相减即为渐近线的数量:
渐近线和实轴的交点在(称为形心),往外延伸的角度为:
其中为所有极点数值的和,为所有明确零点数值的和
根轨迹图上的分离点(二条根轨迹图上的轨迹相交的点)是满足下式的根
只要解开z,实根即为分离点,若是虚数,表示没有分离点。