朗道量子化是指均匀磁场中带电粒子的回旋轨道发生的量子化。这些带电粒子能量在一系列分立的数值中取值,形成朗道能级。朗道能级是简并的,每一能级上电子的电子数量与外加磁场的强度成正比[1]:267。由朗道量子化可以得出外磁场会导致材料中电子性质的振荡[1]。这一理论是由苏联物理学家列夫·朗道于1930年提出的[2]。
推导
朗道量子化可以通过准经典的方法部分导出[1]:255-258。这里采用量子力学的方法进行推导:
考虑一个带电粒子组成的二维系统。这些粒子无内部相互作用,所带电荷为q,自旋量子数为S,并被限制在x-y平面内一个面积A = LxLy的区域内。
对这一系统施加一个沿z轴的均匀磁场
。由于自旋对于这个二维系统没有影响[3],因而在下面的推导中将忽略自旋。在CGS单位制下,这个系统的哈密顿算符为:
![{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c)^{2}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288f07c6cf31eabc95ff1d5feaacfa521f4e668e)
式中
为正则动量算符,
为磁场的磁矢势,与磁感应强度的关系为:
![{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times {\hat {\mathbf {A} }}.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b084b4873839612148858785daee8131a4acf3)
给定磁场的磁矢势具有一定的规范自由度。当
被添加一个标量场的梯度时,波函数的整体相位也会随着标量场产生一定的变化,但由于哈密顿算符具有规范不变性,系统的物理性质并不受选定的规范影响。为了简便计算,这里选择朗道规范:
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}0\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a611dd8f5252eb438bbae2445650cf08170bfe22)
式中B=|B|,x为位置算符x方向上的分量。
在这一规范下,系统的哈密顿算符为:
![{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-{\frac {qB{\hat {x}}}{c}}\right)^{2}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d09c8329ad8d5966c0827096a2dfd46dbd8e39)
算符
与这一哈密顿算符是对易的。这是因为在选定规范时,算符
被忽略掉了,因而算符
可被它的本征值ħky替代。
如果设定回旋频率ωc = qB/m,那么可以得出此时哈密顿算符为:
![{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{c}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{c}}}\right)^{2}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2eb7b5defcd3e6fa3ddd75c5f5154eccaa3c82)
这与量子谐振子的哈密顿算符基本一致,但势能的最小值需要在位置表象中移动x0 = ħky/mωc。
注意到谐振子势能的平移并不会影响到系统的能量,也就是说这一系统的能量与标准的量子谐振子一致:
![{\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\quad n\geq 0~.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a486cd69eeb09ec461b6c93c9e3a9ace9f593648)
由于能量与量子数ky无关,因而会存在一定的简并态。
由于
与哈密顿算符是对易的,因而系统的波函数可以表示为y方向上动量的本征值与谐振子本征矢
的乘积,但
也需要在x方向上移动x0,即:
![{\displaystyle \Psi (x,y)=e^{ik_{y}y}\phi _{n}(x-x_{0})~.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb917433c2df668b553c36daf32504dda9cf1b10)
总之,电子的状态可以通过n与ky这两个量子数表征。
朗道能级
朗道量子化所造成的效应只能在平均内能小于能级间差值,即kT ≪ ħωc时才能被观测到。简单来说就是温度较低,外磁场较强。
每个朗道能级都具有一定的简并度,因为量子数ky的取值情况为:
,
式中N为整数。N所允许的取值受到振子的运动中心坐标x0的影响。振子的运动必须在系统范围内,也就是说0 ≤ x0 < Lx。这给出了N的取值范围:
![{\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{c}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a15fa2417421ee0d905f50919f30b492e0c3a53)
对于带电量q = Ze的粒子来说,N的上限可以表记为磁通量的比值:
![{\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(hc/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c870ae2cfe4de9fe7ad7c23b9a6e2ddba7f08c99)
式中 Φ0 = h/e为磁通量的基本量子,Φ = BA是系统的磁通量,面积A = LxLy。
因而对于自旋为S的粒子,每个朗道能级的简并度的最大值D为:
![{\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c66152652780d273c96303c825bfb54f9c39a3)
上述讨论只是在有限尺度内给出的粗略的结果,严格来说,谐振子解只对在x方向上不受限的系统有效,如果系统尺度Lx是有限的,那个方向上的束缚态条件会导致磁场中的非标准量子化情况。原则上,两个都是埃尔米特方程的解。多电子对于朗道能级的填充仍是研究热点之一[4]。
一般来说,朗道能级可以在电子系统中被观察到,其中Z=1,S=1/2。随着磁场增强,越来越多的电子会占据朗道能级。最高的朗道能级的占据情况会导致多种电子性质振荡,如德哈斯-范阿尔芬效应及舒布尼科夫-德哈斯效应。
如果考虑到塞曼效应的话,那么每个朗道能级都会分裂为一对能级:一个为自旋向上的电子占据的能级,一个是自旋向下的电子占据的能级。此时每个自旋朗道能级的简并度就会是磁通量的比率:D = Φ/Φ0。两个能级与分裂前的能级间隔是相同的: 2μBB = ħω 。然而在多个能级被占满时,系统的费米能与基态的能量却是大致相同的,因为塞曼效应造成的影响,在这些能级相加时会被抵消掉。
讨论
在上面的推导过程中,x与y似乎并不对称。然而,考虑到系统的对称性,并没有物理量能表征这两个坐标的区别。在对x与y进行适当的内部变换后,可以得到相同的结果。
此外,上述推导中电子在z方向上运动受限的情形尽管在实验中确实存在,如二维电子气。但这一假设并不基本。如果电子在z方向上可以自由移动,那么波函数还需要乘以一个因子exp(ikzz),能量对应地需要加上(ħ kz)2/(2m)。这一项会“填入”能级间隙,从而减小量子化的效果。但在垂直于磁场的平面x-y上的运动仍是量子化的。
对称规范中的朗道能级
选定对称规范:
![{\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af3814bf919bc7330522d2d1de3cf437d1de480)
对于哈密顿算符进行去量纲化:
![{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5dfa0155e74b764d497b7c6ead5912c6452e251)
实际值可以通过引入
、
、
、
及
等常数得出。
引入算符
![{\displaystyle {\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0894fb9056a5c9d11ae5804591f5978969b605b)
![{\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7dd99a512c0a8f774f4af05df5df7a59297df7)
![{\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14034d70c7ed85f00ce4c41046eb0795a1ab5d21)
![{\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b64bfe4717585a534b655b4db64180ce02d8d82)
这些算符的对易关系为:
.
哈密顿算符可记为:
![{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e3e5030f9cedeb8b667fa022cad44eff79f27e)
朗道能级序数
是
的本征值。
角动量z方向上的分量为:
![{\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f810de0fdf1a8ead7d2c10d007f1f34c830f9c26)
利用其与哈密顿算符可对易,即
,我们选定
的本征值
为使
与
对角化的本征函数。易见,在第
个朗道能级上存在
。然而
的值可能非常大。在下面将推导系统表现出的有限简并度。
使用
可以使
减小一个单位同时使
保持不变,而
则可以使
增大一个单位,同时令
减小一个单位。类比量子谐振子,可以得到:
![{\displaystyle {\hat {H}}|n,m\rangle =E_{n}|n,m\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423022d8cc20b51cab85d2afc35300de9ac36731)
![{\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda5abe788a37742795527493f61ab47d5c02172)
![{\displaystyle |n,m\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m+n}}{\sqrt {(m+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e077a9e48da254727fe42f2977b76983d74e532)
在朗道规范与对称规范下,每个朗道能级上的简并轨道分别以量子数ky及
表征,每个朗道能级上单位面积的简并度是相同的。
可以证明选定下面这个波函数时,也可以得到上面得到的结果:
![{\displaystyle \psi _{n,m}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m}e^{-|w|^{2}/4}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917c008c04a6fff581eb9ad51e6a4125f8660375)
式中
。
特别地,对于最低的朗道能级,即
时,波函数为任意一个解析函数与高斯函数的乘积:
。
规范变换的影响
进行这样的规范变换:
![{\displaystyle {\vec {A}}\to {\vec {A}}'={\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\lambda ({\vec {x}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b03556f6ca37ffd5c4aba17b919358d0e025343)
运动学动量的定义为:
![{\displaystyle {\hat {\pi }}={\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7851d7b8603a4e623290ad36610c87495a442b9b)
式中
为正则动量。哈密顿算符是规范不变的,因而
与
也会在规范变换后保持不变,但
会受到规范变换的影响。
为了考察规范变换带来的影响,设磁矢势为
与
时的量子态为
与
。
由于
和
是规范不变的,可以得到:
![{\displaystyle \langle \alpha |{\hat {x}}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {x}}|\alpha '\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b6f4a965242f91faa35d23a48d77b21493ada2)
![{\displaystyle \langle \alpha |{\hat {\pi }}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {\pi '}}|\alpha '\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7530103bd71ddbff5743c400231363d99e7f2d48)
![{\displaystyle \langle \alpha |\alpha \rangle =\langle \alpha '|\alpha '\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646387274b2eca35a657d5cdb98448041f1d2400)
设算符
会使
,则:
![{\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }{\hat {x}}{\mathcal {G}}={\hat {x}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c93bdc6ed83505ee99b75d4ff2f119d0b841a739)
![{\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }\left({\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}-{\frac {e{\vec {\nabla }}\lambda (x)}{c}}\right){\mathcal {G}}={\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765edec411c100260e3ccf1bd35d7b60acbb0d61)
![{\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }{\mathcal {G}}=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e63c3a1b3fb12c22fdb1df70de83fd1bbe569b3)
综上所述:
![{\displaystyle {\mathcal {G}}=\exp \left({\frac {ie\lambda ({\vec {x}})}{\hbar c}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db6631d0012d5c2295db0226b6bc8418c7d5ac31)
参考文献
Л·Д·朗道; Е·М·栗弗席兹; 严肃(译); 喀兴林(校). 《理论物理学教程第三卷·量子力学(非相对论理论)》. 北京: 高等教育出版社. : 416–420. ISBN 978-7-04-024306-2 (中文(中国大陆)).
Mikhailov, S. A. A new approach to the ground state of quantum Hall systems. Basic principles. Physica B: Condensed Matter. 2001, 299: 6. doi:10.1016/S0921-4526(00)00769-9 (英语).
参见