在信号处理及控制理论中,有界输入有界输出稳定性简称BIBO稳定性,是一种针对有输入信号线性系统的稳定性。BIBO是“有界输入有界输出”(Bounded-Input Bounded-Output)的简称,若系统有BIBO稳定性,则针对每一个有界的输入,系统的输出也都会有界,不会发散到无限大。
对于信号若存在有限的定值
使得信号的幅度不会超过
,则此信号为有界的,也就是说
针对离散信号,或
针对连续信号
线性非时变系统时域分析下的条件
连续系统的充份及必要条件
针对连续时间的线性非时变(LTI)系统,BIBO稳定性的条件是脉冲响应需为绝对可积分,也就是存在L1范数
离散系统的充份条件
针对离散时间的线性非时变系统,BIBO稳定性的条件是脉冲响应需为绝对可积分,也就是存在L1范数
![{\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161d1bac676ba1aabc6c40e3544506d80acef0d5)
充份条件的证明
假设离散时间的线性非时变系统,其脉冲响应
和输入
和输出
之间会有以下的关系:
![{\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9d890ceb9b201729dcc4bf5844face94b58215)
其中
为卷积
则依卷积的定义:
![{\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a582c4fdbf53782af354d76509cd8a2dd679cd)
令
为
的最大值
![{\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5759164337cce80f7232d8bdb129d48d9f9bec)
(根据三角不等式)
![{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414e6e5f006c4e99d1069c8a92386dc63471f2c3)
![{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ddf05b59424b195df02e031c7b1b6d85eba0b4)
![{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d49d06ec3aaf8a951b669b5a1dc9ad33a793410)
若
是绝对可求和,则
且
![{\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4814b58f6e710292272c780891426f31894517)
因此若
是绝对可求和,且
有界,则因为
,
也会有界。
连续时间的情形也可以依类似的方式证明。
线性非时变系统频域分析下的条件
连续时间信号
对于一个有理的连续时间系统,稳定性的条件是拉普拉斯转换的收敛区域包括复数平面的虚轴。若系统为因果系统,其收敛区域为“最大极点”(实部为最大值的极点)实部垂直线往右的开集,定义收敛区域的极点实部称为收敛横坐标。因此,若要有BIBO稳定性,系统的所有极点都需在S平面的严格左半平面(不能在虚轴上)。
可以将时域分析下的稳定性条件扩展到频域下:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,\operatorname {d} t}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780b1cd5d8f9cc6b3bbf941ba24b237d55639b32)
![{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|dt}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a31f09e712534d12bd556a4e994ed0d1f2f3b37)
![{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|dt}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ef42b435687adbed03104a15675f934284b93b)
![{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|dt}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f03ffe315f441919e20dbd7621aeb4d65b65872)
![{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)e^{-st}\right|dt}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7983ddf919d3cb3a6310ac5dc30af466b161a799)
其中
,且
.
因此收敛区域必须包括虚轴。
离散时间信号
对于一个有理的离散时间系统,稳定性的条件是Z转换的收敛区域包括单位圆。若系统为因果系统,其收敛区域为极点绝对值中最大值为半径的圆周以外的开集,因此,若要有BIBO稳定性,系统的所有极点都需在Z平面的单位圆内(不能在单位圆上)。
可以用类似的方式推导稳定性准则:
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3beac28a0c80a00962fa07aa6d35bf2e8d93944)
![{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80181de05a13e0bc0ae329ecf551d1e743240d69)
![{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d301c384ee3171c46d53ae1938f58432fe85d060)
![{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a359ea08959c3975802edc55a493d50ba536852)
其中
,且
因此收敛区域必须包括单位圆。
相关条目
延伸阅读
- Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
- John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
- D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
- Proof of the necessary conditions for BIBO stability. (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577