排列

排列（英语：Permutation）或置换是将相异对象或符号根据确定的顺序重排。每个顺序都称作一个排列^{[注 1]}。例如，从一到六的数字有720种排列，对应于由这些数字组成的所有不重复亦不阙漏的序列，例如"4, 5, 6, 1, 2, 3" 与1, 3, 5, 2, 4, 6。

“置换”重定向至此。关于化学中的置换，请见“置换反应”。

“Permutation”的各地常用名称
中国大陆	排列
台湾	排列、置换
港澳	排列
日本	置换

P(3,3)=6

置换（排列）的广义概念在不同语境下有不同的形式定义：

• 在集合论中，一个集合的置换是从该集合映至自身的双射；在有限集的情况，便与上述定义一致。
• 在组合数学中，置换一词的传统意义是一个有序序列，其中元素不重复，但可能有阙漏。例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换，但是其中不含5,6。此时通常会标明为“从n个对象取r个对象的置换”。

定义

一个集合置换为从该集合映至自身的双射函数

${\displaystyle \sigma :S\ {\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\ S.}$

恒等置换的定义为置换${\displaystyle \sigma }$使得对所有${\displaystyle x\in X}$，${\displaystyle \sigma (x)=x}$。

所有关于${\displaystyle n}$个元素的集合${\displaystyle S}$的置换组成的集合构成对称群${\displaystyle S_{n}}$，其群运算为函数的复合。因此两个置换，${\displaystyle \sigma }$和${\displaystyle \tau }$的积${\displaystyle \pi =\sigma \tau }$的定义为 ${\displaystyle \pi (i)=\sigma (\rho (i))}$

两个置换的复合一般不满足交换律：${\displaystyle \tau \sigma \neq \sigma \tau }$。

置换数的计算

此节使用置换的传统定义。从${\displaystyle n}$个相异元素中取出${\displaystyle k}$个元素，${\displaystyle k}$个元素的排列数量为：

${\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$

其中P意为Permutation（排列），!表示阶乘运算。

以赛马为例，有8匹马参加比赛，玩家需要在彩票上填入前三胜出的马匹的号码，从8匹马中取出3匹马来排前3名，排列数量为：

${\displaystyle P_{3}^{8}={\frac {8!}{(8-3)!}}=336}$

因为一共存在336种可能性，因此玩家在一次填入中中奖的概率应该是：

${\displaystyle P={\frac {1}{336}}=0.00298}$

不过，中国大陆的教科书则是把从n取k的情况记作${\displaystyle P_{n}^{k}}$或${\displaystyle A_{n}^{k}}$（A代表Arrangement，即排列）。^[1]

重复置换

上面的例子是建立在取出元素不重复出现状况。

从${\displaystyle n}$个元素中取出${\displaystyle k}$个元素，${\displaystyle k}$个元素可以重复出现，这排列数量为：

${\displaystyle U_{k}^{n}=n^{k}}$^[2]

以四星彩为例，10个数字取4个数字，因可能重复所以排列数量为：

${\displaystyle U_{4}^{10}=10^{4}=10000}$

这时的一次性添入中奖的概率就应该是：

${\displaystyle P={\frac {1}{10000}}=0.0001}$

抽象代数

在集合论与抽象代数等领域中，“置换”一词被保留为集合（通常是有限集）到自身的双射的一个称呼。例如对于从一到十的数字构成的集合，其置换将是从集合 ${\displaystyle \{1,\ldots ,10\}}$ 到自身的双射。因此，置换是拥有相同定义域与上域的函数，且其为双射的。一个集合上的置换在函数合成运算下构成一个群，称为对称群或置换群。

符号

更多信息：对称群 (n次对称群)

以下仅考虑有限集上的置换（视为双射），由于 ${\displaystyle n}$ 个元素的有限集可以一一对应到集合 ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$，有限集的置换可以化约到形如 {1, ..., n} 的集合之置换。此时有两种表示法。

第一，利用矩阵符号将自然排序写在第一列，而将置换后的排序写在第二列。例如：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{bmatrix}}}$

表示集合 {1,2,3,4,5} 上的置换 ${\displaystyle s:s(1)=2,s(2)=5,s(3)=4,s(4)=3,s(5)=1}$。

第二，借由置换的相继作用描述，这被称为“轮换分解”。分解方式如下：固定置换 ${\displaystyle s}$。对任一元素 ${\displaystyle x}$，由于集合有限而 ${\displaystyle s}$ 是双射，必存在正整数 ${\displaystyle N}$ 使得 ${\displaystyle s^{N}(x)=x}$，故可将置换 ${\displaystyle s}$ 对 ${\displaystyle x}$ 的相继作用表成 ${\displaystyle (x\;s(x)\;s^{2}(x)\cdots s^{m-1}(x))}$，其中 ${\displaystyle m}$ 是满足 ${\displaystyle s^{m}(x)=x}$ 的最小正整数。

称上述表法为 ${\displaystyle x}$ 在 ${\displaystyle s}$ 下的轮换， ${\displaystyle m}$ 称为轮换的长度。我们在此将轮换视作环状排列，例如

${\displaystyle (a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\cdots a_{m})}$ 与

${\displaystyle (a_{m}\;a_{1}\;a_{2}\cdots a_{m-1})}$

是同一个轮换。由此可知 ${\displaystyle x}$ 在 ${\displaystyle s}$ 下的轮换只决定于 ${\displaystyle x}$ 在 ${\displaystyle s}$ 作用下的轨道，于是，任两个元素 ${\displaystyle x,y}$ 或给出同一个轮换，或给出不交的轮换。

我们将轮换 ${\displaystyle (x_{1}\;\cdots x_{m})}$ 理解为一类特殊的置换^{[注 2]}：仅须定义置换 ${\displaystyle s}$ 为 ${\displaystyle s:x_{1}\mapsto x_{2},\ldots ,x_{m-1}\mapsto x_{m},x_{m}\mapsto x_{1}}$，而在其它元素上定义为恒等映射。不交的轮换在函数合成的意义下可相交换。

因此我们可以将集合 {1, ..., n} 对一置换分解成不交轮换的合成，此分解若不计顺序则是唯一的。例如前一个例子的 ${\displaystyle s}$ 就对应到 (1 2 5) (3 4) 或 (3 4) (1 2 5)。

轮换

轮换一是种特殊的置换。

如果给定${\displaystyle f:X\rightarrow X}$是${\displaystyle X}$上的一个置换，${\displaystyle A}$为${\displaystyle X}$上的一个子集。

若有

${\displaystyle \exists A\subset X,A=\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{l}\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}f(x_{1})=x_{2},f(x_{2})=x_{3},\cdots ,f(x_{l})=x_{1}\\f(x)=x,x\not \in A\end{cases}}}$

则称${\displaystyle f}$ 为一个轮换。${\displaystyle l}$ 为轮换的长度。

特殊置换

在上节的置换表法中，长度等于二的环状置换称为换位，这种环状置换 ${\displaystyle (x\;y)}$ 不外是将元素 ${\displaystyle x,y}$ 交换，并保持其它元素不变。对称群可以由换位生成。

由于环状置换长度为${\displaystyle l}$的置换${\displaystyle C}$可分解为最少${\displaystyle k=l-1}$个换位，若${\displaystyle k}$为偶数，则${\displaystyle C}$为偶换位，否则${\displaystyle C}$为奇换位。即环状置换的长度为奇数，该置换为偶换位；环状置换的长度为偶数，该置换为奇换位。

由此可定义任一置换的奇偶性，并可证明：一个置换是偶换位的充要条件是它可以由偶数个换位生成。偶换位在置换群中构成一个正规子群，称为交错群。

计算理论中的置换

某些旧课本将置换视为变量值的赋值。在计算机科学中，这就是将值

1, 2, ..., n

赋予变量

x₁, x₂, ..., x_n

的赋值运算子，并要求每个值只能赋予一个变量。

赋值/代入的差别表明函数式编程与指令式编程之差异。纯粹的函数式编程并不提供赋值机制。现今数学的惯例是将置换看作函数，其间运算看作函数合成，函数式编程也类似。就赋值语言的观点，一个代入是将给定的值“同时”重排，这是个有名的问题。

置换图

(2,5,1,4,3,6)的置换图

取一个无向图G，将图G的n个顶点标记v₁,...,v_n，对应一个置换( s(1) s(2) ... s(n) )，当且仅当s(i) < s(j) 而 i > j，则图的v_i和v_j相连，这样的图称为置换图。

置换图的补图必是置换图。

使用计算器

多数计算器都有个计算置换数的 nPr 键。然而此键在一些最先进的桌上型机种中却被隐藏了。例如：在 TI-83 中，按 MATH、三次右键、再按二。在卡西欧的图形计算机中，按 OPTN，一次右键（F6）、PROB（F3）、nPr（F2）。

试算表语法

多数试算表软件都有函式 PERMUT(Number，Number chosen)，用以计算置换。Number 是描述对象数量的一个整数，Number chosen 是描述每个置换中所取对象数的整数。

C++演算范例

循环法

#include <iostream>
using namespace std;
bool arrsame(int* arr, int len, int num) {
	int i;
	for (i = 0; i < len; i++)
		if (arr[i] == num)
			break;
	return i != len;
}
bool next_perm(int* perm, const int k, const int n) {
	int i = k - 1;
	do
		perm[i]++;
	while (arrsame(perm, i, perm[i]) || (perm[i] >= n && i--));
	if (perm[0] >= n)
		return 0;
	for (int num = 0, seat = i + 1; seat < k; num++)
		if (!arrsame(perm, i + 1, num))
			perm[seat++] = num;
	return 1;
}
int main() {
	int n, k;
	cout << "perm(n,k):" << endl;
	cin >> n >> k;
	if (n < k || k <= 0)
		return 0;
	int* perm = new int[k];
	for (int i = 0; i < k; i++)
		perm[i] = i;
	do
		for (int i = 0; i < k; cout << ((++i < k) ? ',' : '\n'))
			cout << perm[i] + 1;
	while (next_perm(perm, k, n));
	delete[] perm;
	return 0;
}

递归法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct prem {
	int len;
	vector<int> used, position;
	function<void(vector<int>&)> action;
	prem(int l = 0, function<void(vector<int>&)> a = [](vector<int>& position) {}) : len(l), used(l, -1), position(l), action(a) {}
	void run(int now = -1) {
		if (now == len - 1) {
			action(position);
			return;
		}
		int next = now + 1;
		for (int i = 0; i < len; i++) {
			if (used[i] == -1) {
				used[i] = next;
				position[next] = i;
				run(next);
				used[i] = -1;
			}
		}
	}
};
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
	int len = 4;
	prem p(len, [&](vector<int>& p) {
		for (int i = 0; i < len; i++) {
			cout << p[i] << " ";
		}
		cout << endl;
	});
	p.run();
	return 0;
}

python演算范例

import sys


def perm(dim, num):
    if not 0 <= num <= dim:
        print('It must be that 0 <= num <= dim!', flush=True, file=sys.stderr)
        return []

    result = []
    xstack = []

    arr = []
    xset = set(range(dim, 0, -1))

    xstack.append((arr, xset))

    while len(xstack):
        theArr, theSet = xstack.pop()
        for theInt in theSet:
            newSet = theSet.copy()
            newSet.remove(theInt)
            newArr = theArr.copy()
            newArr.append(theInt)
            if num == len(newArr):
                result.append(newArr)
            else:
                xstack.append((newArr, newSet))
    return result

注释

1. 对于不排序的情形，请见条目组合。
2. 可递置换

参考文献

1. 普通高中教科书 数学 选择性必修第三册（A版）. 北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼: 人民教育出版社. : 17 [2024-03-30]. ISBN 978-7-107-34598-2.
2. 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 29. OCLC:44527392

• Miklos Bona. "Combinatorics of Permutations", Chapman Hall-CRC, 2004. ISBN 978-1-58488-434-7.
• Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 4: Generating All Tuples and Permutations, Fascicle 2, first printing. Addison-Wesley, 2005. ISBN 978-0-201-85393-3.
• Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching, Second Edition. Addison-Wesley, 1998. ISBN 978-0-201-89685-5. Section 5.1: Combinatorial Properties of Permutations, pp.11–72.

外部链接

• 许多排列组合问题，附详解。 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）
• 置换及图论问题 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）