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在几何学中,正扭歪[1][2]无限面体(英语:Regular skew apeirohedron),又称扭歪正多面体(日语:ねじれ正多面体)[注 1]是一种顶点并非全部共面的正无限面体,即每个面都全等、每个角也相等的扭歪无限面体。通常扭歪无限面体会具有正扭歪的面或扭歪的顶点图。
关于考克斯特,1926年时,约翰·弗林德斯·皮特里将扭歪多边形(非平面多边形)的概念推广到四维空间的扭歪多面体和三维空间的扭歪无限面体。
考克斯特找到了三种形式,他们具有平的面和扭歪的顶点图,两者彼此互补。它们都可以用施莱夫利符号的扩展符号{l,m|n}来表示。这个扩展符号{l,m|n}表示每个顶点都是个正边形的公共顶点,且存在正边形的空洞。
若一扭歪无限面体是一个正扭歪无限面体,则其施莱夫利符号存在下列等式:
三维空间中有三种扭歪无限面体,分别为四角六片四角孔扭歪无限面体、六角四片四角孔扭歪无限面体和六角六片三角孔扭歪无限面体。约翰·康威将他们称为多立方体(英语:Mucube)、多八面体(英语:Muoctahedron)和、多四面体(英语:Mutetrahedron),英文中的字首mu-表示“多”(英语:multiple)的意思,其意义分别代表“很多立方体”、“很多八面体”以及“很多四面体”[3]。
考克斯特给予这些 {2q,2r|p} 形式的扭歪无限面体与抽象群 (2q,2r|2,p) 同构的[[(p,q,p,r)]+的手征对称性。与之相关的堆砌就具有[[(p,q,p,r)]]的扩展对称性[4]。
考克斯特群 对称性 |
无限面体 {p,q|l} |
图像 | 面 {p} |
洞 {l} |
顶点图 | 相关堆砌 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
[[4,3,4]] [[4,3,4]+] |
{4,6|4} 四角六片四角孔 扭歪无限面体 多立方体 |
动画 |
扭歪六边形 (黄色部分) |
t0,3{4,3,4} |
|||
{6,4|4} 六角四片四角孔 扭歪无限面体 多八面体 |
动画 |
扭歪四边形 (绿色部分) |
2t{4,3,4} |
||||
[[3[4]]] [[3[4]]+] |
{6,6|3} 六角六片三角孔 扭歪无限面体 多四面体 |
动画 |
扭歪六边形 (绿色部分) |
q{4,3,4} |
1967年时,C. W. L. Garner以类似于在欧式三维空间寻找正扭歪无限面体的方式,发现了31种双曲空间中具有扭歪多边形顶点图的正扭歪无限面体[5]。
考克斯特群 | 无限面体 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 顶点图 | 无限面体 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 顶点图 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[3,5,3] |
{10,4|3} | 2t{3,5,3} |
{4,10|3} | t0,3{3,5,3} |
|||||||
[5,3,5] |
{6,4|5} | 2t{5,3,5} |
{4,6|5} | t0,3{5,3,5} |
|||||||
[(4,3,3,3)] |
{8,6|3} | ct{(4,3,3,3)} |
{6,8|3} | ct{(3,3,4,3)} |
|||||||
[(5,3,3,3)] |
{10,6|3} | ct{(5,3,3,3)} |
{6,10|3} | ct{(3,3,5,3)} |
|||||||
[(4,3,4,3)] |
{8,8|3} | ct{(4,3,4,3)} |
{6,6|4} | ct{(3,4,3,4)} |
|||||||
[(5,3,4,3)] |
{8,10|3} | ct{(4,3,5,3)} |
{10,8|3} | ct{(5,3,4,3)} |
|||||||
[(5,3,5,3)] |
{10,10|3} | ct{(5,3,5,3)} |
{6,6|5} | ct{(3,5,3,5)} |
考克斯特群 | 无限面体 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 顶点图 | 无限面体 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 顶点图 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[4,4,4] |
{8,4|4} | 2t{4,4,4} |
{4,8|4} | t0,3{4,4,4} |
|||||||
[3,6,3] |
{12,4|3} | 2t{3,6,3} |
{4,12|3} | t0,3{3,6,3} |
|||||||
[6,3,6] |
{6,4|6} | 2t{6,3,6} |
{4,6|6} | t0,3{6,3,6} |
|||||||
[(4,4,4,3)] |
{8,6|4} | ct{(4,4,3,4)} |
{6,8|4} | ct{(3,4,4,4)} |
|||||||
[(4,4,4,4)] |
{8,8|4} | q{4,4,4} |
|||||||||
[(6,3,3,3)] |
{12,6|3} | ct{(6,3,3,3)} |
{6,12|3} | ct{(3,3,6,3)} |
|||||||
[(6,3,4,3)] |
{12,8|3} | ct{(6,3,4,3)} |
{8,12|3} | ct{(4,3,6,3)} |
|||||||
[(6,3,5,3)] |
{12,10|3} | ct{(6,3,5,3)} |
{10,12|3} | ct{(5,3,6,3)} |
|||||||
[(6,3,6,3)] |
{12,12|3} | ct{(6,3,6,3)} |
{6,6|6} | ct{(3,6,3,6)} |
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