在几何学中,扭歪[1][2]多面体(英语:Skew polyhedron)是指顶点、边或面并非全部位于同一个三维空间中的多面体,即扭歪多边形的高一维类比,因此其无法找到一个唯一的内部区域以及其体积。
正扭歪多面体代表每个面全等、每条边等长、每个角都相等的扭歪多面体,是一系列可能具有非平面的面或顶点图。考克斯特的研究着重于具有扭歪顶点图新的四维多面体,后期多由布兰科·格林鲍姆研究有扭歪面的形状[4]。
具有无限多个面的扭歪多面体称为扭歪无限面体。除了扭歪无限面体之外的扭歪多面体仅能存在于四维或以上的空间。
关于考克斯特,1926年时,约翰·弗林德斯·皮特里将扭歪多边形(非平面多边形)的概念广义化。
考克斯特针对这种图提出一个施莱夫利符号的扩展符号 {l,m|n} ,其中以{l,m}表示其顶点:每个顶点都是m个l边形的公共顶点。他们的顶点图是扭歪多边形,以锯齿的形式存在于两个面中。
能表示为{l,m|n}的正扭歪多面体存在以下等式:
![{\displaystyle 2\cos({\frac {\pi }{l}})\cos({\frac {\pi }{m}})=\cos({\frac {\pi }{n}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9369e9f9bd44ee904acb820c29e7c54a5694a1d2)
第一系列的{l,m|n}正扭歪多面体与五个正多面体和一个星形正多面体相关:
More information {l, m | n}, 面 ...
{l, m | n}
|
面
|
边
|
顶点
|
p
|
多面体
|
对称性 阶数
|
{3,3|3} = {3,3} |
4 |
6 |
4 |
0 |
正四面体 |
12
|
{3,4|4} = {3,4} |
8 |
12 |
6 |
0 |
正八面体 |
24
|
{4,3|4} = {4,3} |
6 |
12 |
8 |
0 |
立方体 |
24
|
{3,5|5} = {3,5} |
20 |
30 |
12 |
0 |
正二十面体 |
60
|
{5,3|5} = {5,3} |
12 |
30 |
20 |
0 |
正十二面体 |
60
|
{5,5|3} = {5,5/2} |
12 |
30 |
12 |
4 |
大十二面体 |
60
|
Close
考克斯特在他的论文《三维和四维空间的正扭歪多面体及其类似物》[5]中列出了较多的一系列扭歪多面体。
More information {l, m | n}, 面 ...
偶数皆扭歪多面体
{l, m | n}
|
面
|
边
|
顶点
|
p
|
结构
|
对称性
|
阶数
|
相关半正多胞体
|
{4,4| 3} |
9 |
18 |
9 |
1 |
D3xD3 |
[[3,2,3]+] |
9 |
3-3 超柱体
|
{4,4| 4} |
16 |
32 |
16 |
1 |
D4xD4 |
[[4,2,4]+] |
16 |
4-4 超柱体 或 超立方体
|
{4,4| 5} |
25 |
50 |
25 |
1 |
D5xD5 |
[[5,2,5]+] |
25 |
5-5 超柱体
|
{4,4| 6} |
36 |
72 |
36 |
1 |
D6xD6 |
[[6,2,6]+] |
36 |
6-6 超柱体
|
{4,4| n} |
n2 |
2n2 |
n2 |
1 |
DnxDn |
[[n,2,n]+] |
n2 |
n-n 超柱体
|
{4,6| 3} |
30 |
60 |
20 |
6 |
S5 |
[[3,3,3]+] |
60 |
截半五胞体
|
{6,4| 3} |
20 |
60 |
30 |
6 |
S5 |
[[3,3,3]+] |
60 |
过截角五胞体
|
{4,8| 3} |
288 |
576 |
144 |
73 |
|
[[3,4,3]+] |
576 |
截半二十四胞体
|
{8,4| 3} |
144 |
576 |
288 |
73 |
|
[[3,4,3]+] |
576 |
截半二十四胞体
|
Close
More information {l, m | n}, 面 ...
五角星形的扭歪多面体
{l, m | n}
|
面
|
边
|
顶点
|
p
|
结构
|
对称性
|
阶数
|
相关的多胞体
|
{4,5| 5} |
90 |
180 |
72 |
10 |
A6 |
[[5/2,5,5/2]+] |
360 |
截半大星形一百二十胞体
|
{5,4| 5} |
72 |
180 |
90 |
10 |
A6 |
[[5/2,5,5/2]+] |
360 |
过截角大星形一百二十胞体
|
Close
- Peter McMullen, Four-Dimensional Regular Polyhedra[永久失效链接], Discrete & Computational Geometry September 2007, Volume 38, Issue 2, pp 355-387
- Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8
- Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
- Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179-1186, 1967.
- Schulte, Egon and Wills, Jörg M. On Coxeter's regular skew polyhedra. Discrete mathematics (Elsevier). 1986, 60: 253–262 [2016-08-01]. (原始内容存档于2020-07-12).
扭歪の意味. Weblio日中中日辞典. [2024-04-23]. (原始内容存档于2013-07-20).
McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 p. 25
Abstract Regular Polytopes[3] , p.7, p.17
Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.