弧度

弧度（英语：radian）或弳度，符号${\displaystyle rad}$，是平面角的一种计量单位，属于国际单位制导出单位。单位弧度定义为圆弧长度等于半径时的圆心角^{[注 1]}。因此在弧度制下，度量平面角的大小是以两射线交点为圆心的圆被射线所截的弧长与半径之比。

提示：此条目页的主题不是曲率。

单位弧度

常见的各种弧度

一个完整圆的弧度是${\displaystyle 2\pi }$，所以弧度制下的${\displaystyle 1\pi }$等于360度制下的180°。

转换

以度数表示的角，把数字乘以${\displaystyle {\frac {\pi }{180^{\circ }}}}$便转换成弧度；以弧度表示的角，乘以${\displaystyle {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$便转换成度数。

${\displaystyle \pi =180^{\circ }}$

${\displaystyle 1={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }}$

${\displaystyle 1^{\circ }=1^{\circ }\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.0175}$

微积分学中，三角函数的角度要采用弧度为单位，以获得正确的计算结果。

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}=1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x^{2}=2x\cos x^{2}}$

把三角函数写成泰勒级数，则必须以弧度表示。

一单位弧度度等于一半径长的弧所占的角度

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \quad \!}$

相同角度的转换表

角度单位	值
转	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$	${\displaystyle 1}$
角度	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle 360^{\circ }}$
弧度	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi }$
梯度	${\displaystyle 0^{g}}$	${\displaystyle 33{\frac {1}{3}}^{g}}$	${\displaystyle 50^{g}}$	${\displaystyle 66{\frac {2}{3}}^{g}}$	${\displaystyle 100^{g}}$	${\displaystyle 200^{g}}$	${\displaystyle 300^{g}}$	${\displaystyle 400^{g}}$

注释

1. 角以弧度给出时，通常不写弧度单位，或有时记为rad（㎭）。平面角和立体角皆无因次。

参见

• 角度
• 球面度

参考文献

• ISO 31-1
• ISO/IEC 80000-3

^[1]

外部链接

• Radian （页面存档备份，存于互联网档案馆） at MathWorld
• 弧度 （页面存档备份，存于互联网档案馆） | [科学Online]

1. 存档副本. [2020-10-23]. （原始内容存档于2022-03-07）.