广义位势

拉格朗日力学时常涉及广义位势，因为拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$的广义式定义包含了广义位势：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-{\mathcal {V}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\mathcal {V}}\,\!}$是广义位势，${\displaystyle T\,\!}$是动能。

定义广义位势为一个函数，

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N},\ t)\,\!}$，

满足下述与广义力${\displaystyle {\mathcal {F}}\,\!}$的关系：

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)\,\!}$；

其中，${\displaystyle q_{i}\,\!}$是广义坐标，${\displaystyle {\dot {q_{i}}}\,\!}$是广义速度，${\displaystyle t\,\!}$是时间。

假若一个物理系统满足上述关系，此系统是单演系统。

假若一个单演系统的广义位势只跟广义坐标有关，${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})\,\!}$，则此系统是保守系统。广义力与广义位势的关系是

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial q_{i}}}\,\!}$。

参阅

• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学