对偶 (数学)
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在数学领域中,对偶一般来说是以一对一的方式,常常(但并不总是)通过某个对合算子,把一种概念、公理或数学结构转化为另一种概念、公理或数学结构:如果A的对偶是B,那么B的对偶是A。由于对合有时候会存在不动点,因此A的对偶有时候会是A自身。比如射影几何中的笛沙格定理,即是在这一意义下的自对偶。
对偶在数学背景当中具有很多种意义,而且,尽管它是“现代数学中极为普遍且重要的概念(a very pervasive and important concept in (modern) mathematics)”[1]并且是“在数学几乎每一个分支中都会出现的重要的一般性主题(an important general theme that has manifestations in almost every area of mathematics)”[2],但仍然没有一个能把对偶的所有概念统一起来的普适定义。[2]
在两类对象之间的对偶很多都和配对(pairing),也就是把一类对象和另一类对象映射到某一族标量上的双线性函数相对应。例如,线性代数的对偶对应着把线性空间中的向量对双线性映射到标量上,广义函数及其相关的试验函数也对应着一个配对且在该配对中可用试验函数来对广义函数进行积分,庞加莱对偶从给定流形的子流形之间的配对的角度看同样也对应着交数。[3]