大六角二十四面体

在几何学中，大六角二十四面体是一种星形多面体，由24个互相相交的筝形组成，其索引编号为DU₁₄。大六角二十四面体的对偶多面体为大立方截半立方体^[1]，与其对偶不同之处在于，其对偶有6个非凸多边形面^[2]，而大六角二十四面体的面全部都是凸多边形。

大六角二十四面体

类别	均匀多面体对偶 星形多面体
对偶多面体	大立方截半立方体
识别
名称	大六角二十四面体
参考索引	DU14
性质
面	24
边	48
顶点	20
欧拉特征数	F=24, E=48, V=20 （χ=-4）
亏格	3
组成与布局
面的种类	24个筝形
顶点布局 （英语：Vertex_configuration）	两种顶点 3个筝形的公共顶点 4个筝形的公共顶点
对称性
对称群	Oh, [4,3], *432
特性
等面、非凸
图像
大立方截半立方体 （对偶多面体）
查 论 编

性质

大六角二十四面体共有24个面、48条边和20个顶点^[3]，是一种二十四面体。

面的组成

大六角二十四面体由24个全等的筝形组成。每个筝形皆露出两个顿角两个部分，其余皆隐藏于该立体的内部。露在该立体外部的部分如下图，以蓝色表示，其中黑线代表等腰顿角三角形彼此互相相交的位置：

顶角性质

大六角二十四面体有三种顶角，一种是由4个筝形面构成的四面角，为最外侧的向外尖角，对应对偶多面体大立方截半立方体中的正方形面，共有6个；另一种是由3个面构成的三面角，为较内侧、未隐没于图形内部的向外尖角，对应对偶多面体中的正三角形面，共有8个；还有一种是由8个面构成的八面角，其8个面互相相交，其顶点图为施莱夫利符号计为{8/3}的八角星，且引么于整个立体图形的内侧，对应对偶多面体中的八角星面，整个立体中共有6个这样的顶点^[3][4][5]。

顶点座标

几何中心位于原点且经过对偶变换后的像边长为单位长的大六角二十四面体，其顶点座标为^[6]：

${\displaystyle (0,0,\pm (2-{\sqrt {2}}))}$、

${\displaystyle (\pm (2-{\sqrt {2}}),0,0)}$、

${\displaystyle (0,\pm (2-{\sqrt {2}}),0)}$、

${\displaystyle (0,0,\pm {\sqrt {2}})}$、

${\displaystyle (\pm {\sqrt {2}},0,0)}$、

${\displaystyle (0,\pm {\sqrt {2}},0)}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {4-{\sqrt {2}}}{7}},\pm {\frac {4-{\sqrt {2}}}{7}},\pm {\frac {4-{\sqrt {2}}}{7}})}$。

二面角

大六角二十四面体的二面角为^[7]：

${\displaystyle \cos ^{-1}(-{\frac {7-4{\sqrt {2}}}{17}})\approx 1.64988733\approx 94.5315^{\circ }}$

对偶多面体

大六角二十四面体的对偶多面体。

主条目：大立方截半立方体

大六角二十四面体的对偶多面体是大立方截半立方体^[8]，其在非凸均匀多面体被编号为U₁₄。其在威佐夫符号中可以用3 4 | ⁴/₃或4 ³/₂ | 4表示。

相关多面体

大六角二十四面体与反平行四边形二十四面体几何中心重合可以组成一个大筝形二十四面体^[9]。

大六角二十四面体

反平行四边形二十四面体

大筝形二十四面体

对偶复合体

大六角二十四面体与其对偶的复合体为复合大立方截半立方体大六角二十四面体。其共有44个面、96条边和44个顶点，其尤拉示性数为-8，亏格为5，具有6个非凸面^[10]。

参见

• 大立方截半立方体

参考文献

1. Eric W. Weisstein. Great Hexacronic Icositetrahedron is The Dual of the Great Cubicuboctahedron. 密歇根州立大学图书馆. [2016-09-01]. （原始内容存档于2014-07-11）.
2. great cubicuboctahedron, dual of great hexacronic icositetrahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-26）.
3. great hexacronic icositetrahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-28）.
4. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Great Cubicuboctahedron. dmccooey.com. [2017-06-28]. （原始内容存档于2016-03-24）.
5. H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Hbk (1948), ppbk (1973).
6. Data of Great Hexacronic Icositetrahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-09-01）.
7. Versi-Regular Polyhedra: Octahemioctahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. （原始内容存档于2016-03-24）.
8. Weisstein, Eric W. (编). Great Hexacronic Icositetrahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
9. Great Hexacronic Icositetrahedron. software3d.com. [2016-09-01]. （原始内容存档于2015-11-21）.
10. compound of great cubicuboctahedron and great hexacronic icositetrahedron. bulatov.org. [2016-09-01]. （原始内容存档于2015-09-06）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 大六角二十四面體. MathWorld.