不等

数学上，不等是表明两个对象的大小或者顺序的二元关系，与相等相对。不等关系主要有四种：

• ${\displaystyle a<b}$，即${\displaystyle a}$小于${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle a>b}$，即${\displaystyle a}$大于${\displaystyle b}$

上述两个属于严格不等。

• ${\displaystyle a\leq b}$，即${\displaystyle a}$小于等于${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle a\geq b}$，即${\displaystyle a}$大于等于${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle a\neq b}$，即${\displaystyle a}$不等于${\displaystyle b}$

将两个表达式用不等符号连起来，就构成了不等式。

若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。

不等式两边同时加或减相同的数，或者两边同时乘以或除以同一个正数，不等关系不变。不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等关系改变方向。

符号${\displaystyle a\gg b}$表示${\displaystyle a}$“远大于”${\displaystyle b}$。其含义是不确定的，可以是 100 倍的差异，也可能是10个数量级的差异。和方程相联系，它被用来给出一个非常大的值而使方程的输出满足一个特定的结果。

性质

不等具有下列性质：

三分律：

对任意实数${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$，只有下列之一是真的：

• ${\displaystyle a<b}$
• ${\displaystyle a=b}$
• ${\displaystyle a>b}$

调换性质：

对任意实数${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$：

• ${\displaystyle a<b}$ 和 ${\displaystyle b>a}$ 是等价的。
• ${\displaystyle a\leq b}$ 和 ${\displaystyle b\geq a}$ 是等价的。

传递性：

对任意实数${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$：

• 如果 ${\displaystyle a<b}$ 且 ${\displaystyle b<c}$，则 ${\displaystyle a<c}$。
• 如果 ${\displaystyle a\leq b}$ 且 ${\displaystyle b\leq c}$，则 ${\displaystyle a\leq c}$。
• 如果 ${\displaystyle a<b}$ 且 ${\displaystyle b\leq c}$，则 ${\displaystyle a<c}$。
• 如果 ${\displaystyle a\leq b}$ 且 ${\displaystyle b<c}$，则 ${\displaystyle a<c}$。

加法性质：

对任意实数${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$：

• 若 ${\displaystyle a>b}$；则 ${\displaystyle a+c>b+c}$ 。
• 若 ${\displaystyle a<b}$；则 ${\displaystyle a+c<b+c}$。

乘法性质：

对任意实数${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$，且有${\displaystyle c\neq 0}$：

• 若${\displaystyle c}$为 正数 且 ${\displaystyle a>b}$；则 ${\displaystyle ac>bc}$。
• 若${\displaystyle c}$为 正数 且 ${\displaystyle a<b}$；则 ${\displaystyle ac<bc}$ 。
• 若${\displaystyle c}$为 负数 且 ${\displaystyle a>b}$；则 ${\displaystyle ac<bc}$ 。
• 若${\displaystyle c}$为 负数 且 ${\displaystyle a<b}$；则 ${\displaystyle ac>bc}$。

注意：当遇上不等关系求解时，比如已知 ${\displaystyle A>B}$，${\displaystyle C>D}$，不可以认为 ${\displaystyle A-C>B-D}$，但根据此描述可知 ${\displaystyle A-D>B-C}$ 是真的。

链式表示法

• ${\displaystyle a<b<c}$ 代表“${\displaystyle a<b}$ 且 ${\displaystyle b<c}$”。
• ${\displaystyle a\leq b\leq c}$ 代表“${\displaystyle a\leq b}$ 且 ${\displaystyle b\leq c}$”。
• ${\displaystyle a<b\leq c}$ 代表“${\displaystyle a<b}$ 且 ${\displaystyle b\leq c}$”。
• ${\displaystyle a\leq b<c}$ 代表“${\displaystyle a\leq b}$ 且 ${\displaystyle b<c}$”。

举例

• 若${\displaystyle x>0}$ ；则

${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}},}$

• 若${\displaystyle x>0}$；则

${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x\,}$

• 若${\displaystyle x,y,z>0}$；则

${\displaystyle (x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2\,}$

• 若${\displaystyle x,y,z>0}$；则

${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{\frac {x+y+z}{3}},}$

• 若${\displaystyle a,b>0}$；则

${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}\,}$

• 若${\displaystyle a,b>0}$；则

${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}\,}$

• 若${\displaystyle a,b,c>0}$；则

${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}\,}$

• 若${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}>0}$；则

${\displaystyle a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1}$

证明
${\displaystyle a<b}$ (10) [前提] ${\displaystyle c<d}$ (15) [前提] ${\displaystyle a-b<0}$ (20) 源自 (10) ${\displaystyle 0<d-c}$ (25) 源自 (15) (20) 及 (25) 经由传递性质可以得到 ${\displaystyle a-b<d-c}$ (30) 源自 (20) (25) ${\displaystyle a-b+(b+c)<d-c+(b+c)}$ (35) 源自 (30) ${\displaystyle a+c<b+d}$ (40) 源自 (35) [结论]

• 对于实数 ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$、${\displaystyle d}$，若 ${\displaystyle a<b}$ 且 ${\displaystyle c<d}$；则

  ${\displaystyle a+c<b+d}$

  例-1

证明
${\displaystyle a<b}$ (45) [前提] ${\displaystyle c<d}$ (50) [前提] ${\displaystyle -c>-d}$ (55) 源自 (50) ${\displaystyle -d<-c}$ (60) 源自 (55) (45) 及 (60) 经由 (例-1) 可以得到 ${\displaystyle a+(-d)<b+(-c)}$ (65) 源自 (45) (60) ${\displaystyle a-d<b-c}$ (70) 源自 (65) [结论]

• 对于实数 ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$、${\displaystyle d}$，若 ${\displaystyle a<b}$ 且 ${\displaystyle c<d}$；则

${\displaystyle a-d<b-c}$

例-2

参见

• 二元关系
• 偏序关系
• 不等号
• 不等式列表