m
{\displaystyle {\boldsymbol {m}}}
阶多伽玛函数是伽玛函数 的第
(
m
+
1
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {m+1}})}
个对数导数 。
ψ
(
m
)
(
ζ
)
=
(
d
d
ζ
)
m
ψ
(
ζ
)
=
(
d
d
ζ
)
m
+
1
ln
Γ
(
ζ
)
{\displaystyle \psi ^{(m)}(\zeta )=\left({\frac {d}{d\zeta }}\right)^{m}\psi (\zeta )=\left({\frac {d}{d\zeta }}\right)^{m+1}\ln \Gamma (\zeta )}
在这里
ψ
(
ζ
)
=
ψ
(
0
)
(
ζ
)
=
Γ
′
(
ζ
)
Γ
(
ζ
)
{\displaystyle \psi (\zeta )=\psi ^{(0)}(\zeta )={\frac {\Gamma '(\zeta )}{\Gamma (\zeta )}}}
是双伽玛函数 ,
Γ
(
ζ
)
{\displaystyle \Gamma (\zeta )\!}
是伽玛函数。函数
ψ
(
1
)
(
ζ
)
{\displaystyle \psi ^{(1)}(\zeta )\!}
有时称为三伽玛函数 。
伽玛函数的对数,以及最初几个多伽玛函数
ln
Γ
(
ζ
)
{\displaystyle \ln \Gamma (\zeta )\!}
ψ
(
0
)
(
ζ
)
{\displaystyle \psi ^{(0)}(\zeta )\!}
ψ
(
1
)
(
ζ
)
{\displaystyle \psi ^{(1)}(\zeta )\!}
ψ
(
2
)
(
ζ
)
{\displaystyle \psi ^{(2)}(\zeta )\!}
ψ
(
3
)
(
ζ
)
{\displaystyle \psi ^{(3)}(\zeta )\!}
ψ
(
4
)
(
ζ
)
{\displaystyle \psi ^{(4)}(\zeta )\!}
积分表示法
多伽玛函数可以表示为:
ψ
(
m
)
(
ζ
)
=
(
−
1
)
m
+
1
∫
0
∞
t
m
e
−
ζ
t
1
−
e
−
t
d
t
{\displaystyle \psi ^{(m)}(\zeta )=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-\zeta t}}{1-e^{-t}}}dt}
当Re z >0和m > 0时成立。对于m = 0,参见双伽玛函数 的定义。
递推关系
多伽玛函数具有以下的递推关系 :
ψ
(
m
)
(
z
+
1
)
=
ψ
(
m
)
(
z
)
+
(
−
1
)
m
m
!
z
−
(
m
+
1
)
.
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.}
乘法定理
乘法定理 给出:
k
m
ψ
(
m
−
1
)
(
k
z
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
(
m
−
1
)
(
z
+
n
k
)
{\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}
其中
m
>
1
{\displaystyle m>1}
。对于
m
=
0
{\displaystyle m=0}
,则是双伽玛函数 :
k
(
ψ
(
k
z
)
−
log
(
k
)
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
(
z
+
n
k
)
{\displaystyle k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right)}
级数表示法
多伽玛函数有以下的级数表示法:
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
∑
k
=
0
∞
1
(
z
+
k
)
m
+
1
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}
对m > 0和任何不等于负数的复数z 都成立。还可以用赫尔维茨ζ函数 来表示:
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
ζ
(
m
+
1
,
z
)
.
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).}
泰勒级数
z = 1时,泰勒级数为:
ψ
(
m
)
(
z
+
1
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
m
+
k
+
1
(
m
+
k
)
!
ζ
(
m
+
k
+
1
)
z
k
k
!
,
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},}
当|z | < 1时收敛。在这里,ζ是黎曼ζ函数 。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推出。这个级数也可以用来推导出一些有理ζ级数 。
参见
参考文献