点P被包围在闭合曲面
内。
根据格林第二恒等式,假若在体积
内,函数
和
都是二次连续可微,则
;
其中,闭合曲面
是体积
的表面,
是从闭合曲面
向外指出的微小面元素矢量。
这方程的左手边是积分于体积
,右手边是积分于这体积的闭合曲面
。
设定函数
满足单色波的亥姆霍兹波动方程:
。
设定
为一种格林函数,是可以描述传播于自由空间、满足数值在无穷远为零的边界条件的圆球面出射波:
;
其中,
。
这函数
满足关系式
;
其中,
是三维狄拉克δ函数。
将
、
的满足式代入,则格林第二恒等式变为
。
为了标记原因,对换无单撇号与有单撇号的变量。这样,
标记检验位置,
标记源位置:
。
假若波扰
的位置在体积
内,即点P被包围在闭合曲面
内,则
写为
。
闭合曲面
是由闭合曲面
与闭合曲面
共同组成。点P处于曲面
之内,曲面
之外。
上述公式应用于点P被包围在闭合曲面内的物理案例,即从位于闭合曲面的次波源所发射出的次波,在闭合曲面内的点P所产生的波扰。大多数衍射案例计算,从延伸尺寸波源发射出的波,其波前所形成的闭合曲面,在闭合曲面的所有次波源,所发射出的次波,在闭合曲面外的点P所产生的波扰;对于这些案例,点P在闭合曲面之外,延伸波源在闭合曲面之内。这公式也可以推导为点P在闭合曲面外,波源在闭合曲面之内的物理案例。如右图所示,假设闭合曲面
是由闭合曲面
与闭合曲面
共同组成,曲面
被包围在曲面
的内部。点P处于曲面
之内,曲面
之外。
让曲面
的半径趋于无穷大,则对于曲面
的任意点Q,
、
,被积函数趋向于零,快过
平方反比的趋向于零,满足“索莫菲辐射条件”(Sommerfeld radiation condition),因此在曲面
的总贡献为零。[2]所以,在点P的波扰为
。
注意到微小面元素矢量
的方向是从曲面
向内指入。现在,将微小面元素矢量
的方向改为与原本方向相反:
,即从闭合曲面
向外指出,则可得到基尔霍夫积分定理的表达式:
。
假设
是与
同方向的单位矢量,是垂直于闭合曲面
的法矢量。那么,法向导数与梯度的关系为
。
所以,基尔霍夫积分定理的另一种表达式为
。
总结,只考虑单色波,位于点P的波扰
,可以以位于闭合曲面
的所有波扰
与其梯度
来表达。[2]
对于非单色波,必须使用更广义的形式。以傅里叶积分来表达非单色波的分解:
;
其中,
是角速度,
是光速。
根据傅里叶反演公式(Fourier inversion formula):
。
对于每一个傅里叶分量
,应用基尔霍夫积分定理,可以得到
。
将这公式代入
的傅里叶积分公式:
。
设定
,注意到推迟时间
出现在相位因子里,必须将光波传播的时间纳入计算。更换积分次序,公式变为
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} }\mathrm {d} S'\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} \omega \left[\psi _{\omega }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial n'}}\left({\frac {e^{-i\omega t_{r}}}{R}}\right)-\left({\frac {e^{-i\omega t_{r}}}{R}}\right){\frac {\partial \psi _{\omega }(\mathbf {r} ')}{\partial n'}}\right]\right\}\\&={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} }\mathrm {d} S'\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} \omega \left[\psi _{\omega }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial n'}}\left({\frac {1}{R}}\right)+\psi _{\omega }(\mathbf {r} ')\left({\frac {i\omega }{Rc}}\right){\frac {\partial R}{\partial n'}}-\left({\frac {1}{R}}\right){\frac {\partial \psi _{\omega }(\mathbf {r} ')}{\partial n'}}\right]e^{-i\omega t_{r}}\right\}\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba67bbabb372dc607702144ff6fc266226038475)
在时间
,位于点P的波扰
,可以以位于闭合曲面
的所有波扰在其推迟时间
的数值
与其法向导数
来表达:
。
这就是推广后的基尔霍夫积分定理。[3]
光波是传播于空间的电磁辐射,理当被视为一种电磁场矢量现象。但是,基尔霍夫的理论是标量理论,将光波当作标量处理,这可能会造成偏差。因此,物理学者做了很多实验来检查结果是否准确。他们发现,只要孔径尺寸比波长大很多、孔径与观察屏之间的距离不很近,则使用标量理论可以得到相当准确的答案。但是对于某些问题,例如高分辨率光栅衍射,标量理论就不适用,必须使用矢量理论。[4]
G. Kirchhoff, Ann. d. Physik. 1883, 2, 18, p663
Max Born and Emil Wolf, Principles of Optics, 1999, Cambridge University Press, Cambridge, pages=pp. 417-420
Goodman, Joseph. Introduction to Fourier Optics 3rd. Roberts and Company Publishers. 2004: pp. 35. ISBN 978-0974707723.