四阶六边形镶嵌

在几何学中，四阶六边形镶嵌是由六边形组成的双曲面正镶嵌图，在施莱夫利符号中用{6,4}表示。四阶六边形镶嵌每个顶点皆由四个六边形共用，且六边形不重叠，这样一来，该点处的内角和将超过360度，因此无法存于平面上，但可以在双曲面上作出。

四阶六边形镶嵌

庞加莱圆盘模型
类别	双曲正镶嵌
对偶多面体	六阶正方形镶嵌
识别
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	shexat
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{6,4}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	4 | 6 2
组成与布局
顶点图	64
对称性
对称群	[6,4], (*642)
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	[6,4]+, (642)
特性
点可递、 边可递、 面可递
图像
六阶正方形镶嵌 （对偶多面体）
查 论 编

性质

四阶六边形镶嵌是指每个顶点皆为4个六边形的公共顶点，且六边形坚不重叠的正镶嵌图。在平面几何中，正六边形具有内角120度，因此4个正六边形将超过平面的360度而无法存在平面空间中。然而在双曲空间中允许这种情况的存在。然而从流形的角度来看，若将其顶点附近的区域局部欧几里得空间化，则会得到直角，换句话说，组成这个几何结构的正六边形可以被视为由6个直角构成，因此又被称为直角六边形镶嵌^[1]

对称性

这个镶嵌代表一个双曲的六次反射万花筒。这种由六个二阶交叉反射的对称性在轨形符号（英语：Orbifold notation）被称为*222222。在考克斯特表示法可表示为[6^*,4]，从三个的镜射线当中移除两条穿过六边形中心的镜射线。在原本六边形基础中对所有的两个顶点加入中垂线则可以限定出一个偏方面体*3322对称群 ；加入对角线则可以限定出一个*443对称群；加入中垂线则可以限定出一个*3222对称群；全部加入则限定出了一个*642对称群。

*443

*3222

*642

相关多面体与镶嵌

球面	欧氏	双曲镶嵌
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

球面镶嵌		多面体	双曲镶嵌
24	34	44	54	64	74	84	...∞4

参见

• 正方形镶嵌
• 六边形镶嵌

参考文献

• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
• Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.
• Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch（页面存档备份，存于互联网档案馆）

1. Kenyon, Richard. Right-angled hexagon tilings of the hyperbolic plane. What's Next? (Princeton University Press). 2020: 206–214.