商环
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定义
设为一环,
为一双边理想。定义下述等价关系
令为其等价类的集合,其中的元素记作
,其中
是该元素在
上任一代表元。我们可以在
上定义环结构:
以上运算是明确定义的(在第二式中须用到是双边理想)。集合
配合上述运算称作
对
的商环。根据定义,商映射
是满的环同态,
为此同态的核。
如果含单位元
,则
是
的单位元。
注:若条件弱化为是左(或右)理想,上述两式仍可赋予集合
左(或右)
-模结构。
例子
- 最平凡的例子是
,此时分别得到
。
- 取
,商环
可视为模运算的代数框架,其中的元素即模
的剩余类。
- 商环是构造代数扩张的主要工具。例如取实系数多项式环
,
,则商环
与复数域
同构(考虑映射
)。一般而言,设
为一个域,
为
上的不可约多项式,则商环
的意义在于抽象地在
上加进
的一个根。
性质
商环由下述泛性质唯一决定(至多差一个同构):
- 设
为商同态;对任何环同态
,若
,则存在唯一的同态
,使得
。
事实上,若更设,则
是单射。准此,
的同态像无非是
的商环。
理想的性质常与其商环相关,例如当是交换含幺环时,
是素理想(或极大理想)当且仅当
是整环(或域);
中包含
的理想一一对应于
中的所有理想,此对应由商映射的逆像给出。
文献
- Serge Lang, Algebra(2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X