向量空间的维数定理

数学分支线性代数中，向量空间的维数定理表明，向量空间的任意一组基，都具有相同数量的元素。基的大小可能有限，也可能无穷（此时其大小为基数）。基的大小定义为向量空间的维数。^[1]

形式上，向量空间的维数定理指出：

设

V

为向量空间，

{\mathcal {B_{1},B_{2}}}

为两组基，则两者等势，即元素个数

|{\mathcal {B}}_{1}|=|{\mathcal {B}}_{2}|

。

由于基是线性独立的生成集，上述定理可由以下定理推出：

在一个向量空间

V

中，如果

G

是生成集，

I

是线性独立集，那么

I

的基数不大于

G

的基数。

特别地，如果 $V$ 有限生成，则每一组基皆为有限，并且具有相同数量的元素^[2]。在一般情况下，证明“任何向量空间都包含一组基”需要佐恩引理，并且实际上等价于选择公理^{[来源请求]}，但证明“基的大小唯一”只需要布尔素理想定理^[3]。

参考资料