典型群

在数学中，典型群（classical group）指与欧几里得空间的对称性密切相关的四类李群。所谓“古典”的使用取决于当下语境，有一定的灵活性。这个用法可能源于赫尔曼·外尔在1939年发表的专著《典型群：它们的不变量和表式》。在菲利克斯·克莱因的爱尔兰根纲领观点下，也许反映了它们和“經典”几何（classical geometry）的关系。

典型群是最被深入研究的线性李群，多数的典型群在古典物理与近代物理皆有应用。例如， ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ 对应到欧几里得空间的旋转，是古典物理中许多对称性的基础；劳仑兹群 ${\displaystyle \operatorname {O} (1,3)}$ 描述了狭义相对论中时空的对称性。其他还有特殊酉群 ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)}$ 在量子色动力学、以及扭对称群 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (m)}$ 在量子力学中皆有广泛应用。

有时在紧群的限制下讨论典型群，这样容易处理它们的表示论和代数拓扑。但是这把一般线性群排除在外，当前都认为一般线性群是最古典的群^[1]。

和典型李群相对的是例外李群，具有一样的抽象性质，但不属于同一类。

和双线性形式的关系

典型李群共同的特点是它们都与某个特定的双线性或半双线性形式的等距同构群密切联系。这四类用邓肯图标记（ ${\displaystyle n\geq 1}$ ），可以描述为：

• ${\displaystyle A_{n}=\operatorname {SU} (n)}$ ，特殊酉群，行列式为 ${\displaystyle 1}$ 的 ${\displaystyle n\times n}$ 幺正矩阵。
• ${\displaystyle B_{n}=\operatorname {SO} (2n+1)}$ ，特殊正交群， ${\displaystyle 2n+1\times 2n+1}$ 行列式为 ${\displaystyle 1}$ 的实正交矩阵。
• ${\displaystyle C_{n}=\operatorname {Sp} (n)}$ ，辛群，保持 Hⁿ 上的通常内积的 ${\displaystyle n\times n}$ 四元数矩阵。
• ${\displaystyle D_{n}=\operatorname {SO} (2n)}$ ，特殊正交群， ${\displaystyle 2n\times 2n}$ 行列式为 ${\displaystyle 1}$ 的实正交矩阵。

为了某些特定的目的，去掉行列式为 ${\displaystyle 1}$ 的条件考虑酉群和（不连通）正交群也是自然的。表中所列即为所谓连通紧实形式群；在复数域中有相应的类比，以及多种非紧形式，例如，和紧正交群一起可考虑不定正交群。这些群相应的李代数称为“典型李代数”。

一般域或环上的典型群

在代数中，通常会考虑任意环 ${\displaystyle R}$ 上的典型群，给出特别值得关注的矩阵群。当矩阵群的系数环是实数或复数域时，这些群就是上述的典型李群。

当系数环是有限域时，典型群是李型群。这些群在有限单群的分类中扮演着重要的角色。在群论中，许多线性群有一个“特殊的”子群，常常由行列式为 ${\displaystyle 1}$ 的元素组成，大部分有一个伴随的“投影”群，它们是除掉该群中心的商群。

“一般”一词在群的名称前面通常表示这个群可以用常数乘以某个形式，而不是保持不变。下标 ${\displaystyle n}$ 经常表示群作用的模之维数。特别注意：这种记法和 Dynkin 图中的 ${\displaystyle n}$（为秩）可能冲突。

一般与特殊线性群

一般线性群 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R)}$ 是某个模的自同构群。有子群特殊线性群 ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(R)}$ ，以及商群射影一般线性群 ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(R)}$ 和射影特殊线性群 ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{n}(R)}$ 。当 ${\displaystyle n\geq 2}$ 的时候，${\displaystyle R}$ 上的射影特殊线性群 ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{n}(R)}$ 为单群。

酉群

酉群 U_n(R) 是保持某个模的半双线性形式的群。有子群特殊酉群 SU_n(R)，以及他们的商群射影酉群 PU_n(R) = U_n(R)/Z(U_n(R)) 与射影特殊酉群 PSU_n(R) = SU_n(R)/Z(SU_n(R))。

辛群

辛群 Sp_2n(R) 保持一个模的斜对称形式。它有一个商群射影辛群 PSp_2n(R)。将模的斜对称形式乘以一个可逆纯量的所有自同构组成一般辛群 GSp_2n(R) 。除了 n=1 且域的阶数为 2 或 3 这两个例外，域 R 上射影辛群 PSp_2n(R) 是单群。

正交群

正交群 O_n(R) 保持一个模的非退化二次型。有子群特殊正交群 SO_n(R)，以及商群射影正交群 PO_n(R) 与射影特殊正交群。在特征为 2 时，行列式总是 1，故特殊正交群常定义为 Dickson 不变量为 1 的元素。

有一个没有名字的群，经常记为 Ω_n(R)，由所有 Spinor 模为 1 的正交群中元素组成。相应的子群和商群为 SΩ_n(R)，PΩ_n(R)，PSΩ_n(R)（对实数域上正定二次型，群 Ω 就是正交群，但一般要比正交群小）。Ω_n(R) 也有一个二重复盖群，称为 Spin 群 Spin_n(R)。一般正交群由在二次型上的作用为乘以一个可逆纯量的自同构组成。

参见

• 记号习惯：李型群#符号问题

注释

1. 就历史来说，在克莱因时代，最明显的例子是覆射影线性群，因为它是当时居统治地位的几何观念的复射影空间的对称群。向量空间后来才出现（事实上作为抽象的代数概念由外尔引入），引起对它们的对称群一般线性群的关注。在朗兰兹纲领的发展中，一般线性群成为最简单和普遍的主要情形。

参考文献

• Artin, Emil, Geometric algebra, Interscience Publishers, 1957, ISBN 0471608394
• Dieudonné, Jean, La géométrie des groups classiques, Springer, 1955, ISBN 1-114-75188-X
• Weyl, Hermann, The Classical Groups: Their Invariants and Representations, Princeton University Press, 1939, ISBN 0-691-05756-7
• V. L. Popov, Classical group, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4