卡塔兰常数

卡塔兰常数 G，是一个偶尔出现在组合数学中的常数，定义为：

${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots }$

卡塔兰常数

识别
符号	${\displaystyle G}$
位数数列编号	A006752
性质
定义	${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}}$
表示方式
值	0.915965594
二进制	0.111010100111110010111000…
八进制	0.724762704764023272042441…
十进制	0.915965594177219015054603…
十六进制	0.EA7CB89F409AE845215822E3…
查 论 编

其中β是狄利克雷β函数（英语：Dirichlet_beta_function）。它的值大约为：^[1]

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

目前还不知道G是有理数还是无理数。

积分恒等式

一些恒等式包括：

${\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}{\rm {d}}t}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}{\rm {d}}x{\rm {d}}y}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {t}{\sin t\cos t}}{\rm {d}}t}$

还有

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,{\rm {d}}x}$

其中${\displaystyle K(x)\,}$是第一类完全椭圆积分，

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}{\rm {d}}x}$

应用

G出现在组合数学中，也出现在第二多伽玛函数（也称为三伽玛函数）的值中。

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G}$

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G}$

Simon Plouffe给出了无穷多个含有三伽玛函数、${\displaystyle \pi ^{2}}$和卡塔兰常数的恒等式。

快速收敛级数

以下两个级数收敛得很快，可以用于计算卡塔兰常数的值：

${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle 3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-}$
	${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)}$

以及

${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.}$

已知的位数

已知的位数

日期	位数	计算者
2009年4月16日	31,026,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[2]
2009年1月31日	15,510,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[2]
2008年8月	10,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[3]
2006年10月	5,000,000,000	Shigeru Kondo[4]
2002年	201,000,000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2001年	100,000,500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
1998年1月4日	12,500,000	Xavier Gourdon
1997年	3,379,957	Patrick Demichel
1996年	1,500,000	Thomas Papanikolaou
1996年9月29日	300,000	Thomas Papanikolaou
1996年8月14日	100,000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996年	50,000	Greg J. Fee
1990年	20,000	Greg J. Fee
1913年	32	James W. L. Glaisher
1877年	20	James W. L. Glaisher

参考文献

1. Sconosciuto. Catalan's Constant to 1,500,000 Places. CAIMAN. （原始内容存档于2009-09-24）.
2. Large Computations. [2009-08-17]. （原始内容存档于2009-12-09）.
3. Constants and Records of Computation. [2009-08-17]. （原始内容存档于2011-01-15）.
4. Shigeru Kondo的网站. [2008-07-08]. （原始内容存档于2008-02-11）.

• Victor Adamchik, 卡塔兰常数的33种表示法（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Simon Plouffe, 一些与卡塔兰常数有关的恒等式（页面存档备份，存于互联网档案馆）, (1993) （有超过一百个不同的恒等式）
• 埃里克·韦斯坦因. Catalan's Constant. MathWorld.