十二胞体

在几何学中，十二胞体是指有12个胞或维面的多胞体。若一个十二胞体的12个胞全等且为正图形，且每条边等长、每个角等角则称为十二胞体，若其有不止一种胞，且该胞都是半正多胞形或正图形，则称为半正十二胞体。四维或四维以上的空间仅有两个维度存在正十二胞体，六维和十一维，其中六维空间的正十二胞体是六维超立方体（英语：6-cube）为一种立方形，十一维空间的正十二胞体是十一维正十二胞体为一种单纯形。

十二胞体

部分的十二胞体
五角六角柱体柱 （四维）	截半五维正六胞体 （五维）
过截角五维正六胞体 （五维）	十一维正十二胞体 （十一维）

四维十二胞体

在四维空间中没有正十二胞体，但有四种柱体柱：三角九角柱体柱（英语：3-9 duoprism）、四角八角柱体柱（英语：4-8 duoprism）和五角七角柱体柱（英语：5-7 duoprism）和六角六角柱体柱（英语：6-6 duoprism）^[1]，其中，六角六角柱体柱是由十二个全等的六角柱组成，但六角柱不是正图形，因此不能算是正十二胞体。

名称	考克斯特 施莱夫利	胞	图像	展开图
三角九角柱体柱		3个九角柱 9个三角柱
四角八角柱体柱		4个八角柱 8个立方体
五角七角柱体柱		5个七角柱 7个五角柱
六角六角柱体柱		12个六角柱

五维十二胞体

在五维空间中，十二胞体由12个四维多胞体组成，虽然没有正十二胞体，但存在许多半正多胞体，例如四种经过一次康威变换的半正多胞体^[2]。

六维十二胞体

在六维空间中，十二胞体为由12个五维多胞体所组成的多胞体，而由十二个五维超正方体所组成的十二胞体称为六维超立方体（英语：6-cube）。

十一维正十二胞体

正十二胞体
类型	正十一维多胞体
家族	单纯形
维度	十一维
对偶多胞形	十一维正十二胞体（自身对偶）
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} {310}
性质
十维胞	12个十维正十一胞体
九维胞	66个九维正十胞体（英语：9-simplex）
八维胞	220个八维正九胞体（英语：8-simplex）
七维胞	495个七维正八胞体
六维胞	792个六维正七胞体
五维胞	924个五维正六胞体
四维胞	792个正五胞体
胞	495个正四面体
面	220个正三角形
边	66
顶点	12
欧拉示性数	2
特殊面或截面
皮特里多边形	正十二边形
组成与布局
顶点图	十维正十一胞体
对称性
对称群	A11 [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3]
查 论 编

在十一维空间几何学中，十一维正十二胞体（Dodecadakon或Dodeca-11-tope）又称为11-单纯形（11-simplex）是十一维空间的一种自身对偶的正多胞体，由12个十维正十一胞体组成，是一个十一维空间中的单纯形^[3][4]。

性质

四维正十二胞体共有12个维面、66个维轴和220个维端，其各维度的的胞数分别为12个十维胞、66个九维胞、220个八维胞、495个七维胞、792个六维胞、924个五维胞、792个四维胞、495个三维胞、220个面、66条边和12个顶点，其二面角为cos⁻¹(1/11)大约是84.78°^[5][6][7]。

顶点座标

边长为2且几何中心位于原点的十一维正十二胞体的顶点座标会落在：

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ -{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ -4/3,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ -3{\sqrt {1/5}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ -{\sqrt {20/11}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {11/6}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

参见

• 十二面体
• 十二边形

参考文献

1. Olshevsky, George, Duoprism at Glossary for Hyperspace.
2. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
3. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, p.296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
4. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1_n1)
5. (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
6. (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
7. (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]