星形正多面体

星形正多面体（开普勒-庞索特多面体）是一类非凸多面体，共有四个。它们的表面均为正多边形或星形正多边形，且每个顶点都有相同数目的边连接。

透视图	立体图	名称	施氏符号	点	边	面	X	对偶多面体	外接立体	内接立体	点群
		小星形十二面体	{5/2,5}	12	30	五角星×12	-6	大十二面体	正十二面体	正二十面体	${\displaystyle I_{h}}$群
		大十二面体	{5,5/2}	12	30	正五边形×12	-6	小星形十二面体	正二十面体	正十二面体	${\displaystyle I_{h}}$群
		大星形十二面体	{5/2,3}	20	30	五角星×12	2	大二十面体	正十二面体	正十二面体	${\displaystyle I_{h}}$群
		大二十面体	{3,5/2}	12	30	等边三角形×20	2	大星形十二面体	正二十面体	正二十面体	${\displaystyle I_{h}}$群

性质

皮特里多边形是指两个连续边都属于多面体的一个面，但三边不属多面体的面的不共面多边形。哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特证明了若正多面体${\displaystyle {p,q}}$的皮特里多边形有${\displaystyle h}$边，则有

${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\pi }{p}}+\cos ^{2}{\frac {\pi }{q}}=\cos ^{2}{\frac {\pi }{h}}}$。

除了${\displaystyle p,q,h}$均为正整数时，有5组解，对应5个正多面体。当${\displaystyle p,q,h}$为正有理数时，有多4组解，分别对应4个开普勒-庞索特多面体。

历史

• 14世纪Paolo Uccello的画作出现了小星形十二面体。
• 15世纪Wenzel Jamnitzer发现小星形十二面体和大星形十二面体。
• 1619年开普勒重新发现了小星形十二面体和大星形十二面体，并将它们和正多面体连系起来。
• 1809年路易斯·庞索发现了大十二面体和大二十面体。因此这些多面体以开普勒和庞索命名。
• 1859年阿瑟·凯莱敲定了这些形状的名字。^[1]

参见

• 正多面体
• 星形多面体

参考文献

1. Cayley, Arthur. On Poinsot's Four New Regular Solids [论庞索的四种新正立体]. Phil. Mag. 1859, 17: 123–127 and 209.

1. J. Bertrand, Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46 (1858), pp. 79–82, 117.
2. Augustin-Louis Cauchy, Recherches sur les polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
3. Arthur Cayley, On Poinsot's Four New Regular Solids. Phil. Mag. 17, pp. 123–127 and 209, 1859.
4. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetry of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 24, Regular Star-polytopes, pp. 404–408)
5. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
   • (Paper 1) H.S.M. Coxeter, The Nine Regular Solids [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
   • (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
6. P. Cromwell, Polyhedra, Cabridgre University Press, Hbk. 1997, Ppk. 1999.
7. Theoni Pappas, (The Kepler–Poinsot Solids) The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 113, 1989.
8. Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.
9. Lakatos, Imre; Proofs and Refutations, Cambridge University Press (1976) - discussion of proof of Euler characteristic
10. Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press. 1983. ISBN 0-521-54325-8., pp. 39–41.
11. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 3)
12. Anthony Pugh. Polyhedra: A Visual Approach. California: University of California Press Berkeley. 1976. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 8: Kepler Poisot polyhedra