作用量-角度坐标
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在经典力学里,作用量-角度坐标(action-angle coordinate)是一组正则坐标,通常在解析可积分系统 (Integrable system) 时,有很大的用处。应用作用量-角度坐标的方法,不需要先解析运动方程,就能够求得振动或旋转的频率。作用量-角度坐标主要用于完全可分的 哈密顿-亚可比方程(哈密顿量显性地不含时间,也就是说,能量保持恒定)。作用量-角度变数可以用来定义一个环面不变量。因为,保持作用量的不变设定了环的曲面,而角度是环面的另外一个坐标,粒子依照着角度,卷绕于环面。
在量子力学早期,波动力学发展成功之前,玻尔-索末菲量子化条件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力学的利器。此条件阐明,作用量必须是普朗克常数常数的整数倍。爱因斯坦对于 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 与 非可积分系统 量子化的困难,都是以 作用量-角度坐标的环面不变量 来表达。
在哈密顿力学里,作用量-角度坐标也可以应用于摄动理论,特别是在决定缓渐不变量。关于一个自由度很小的动力系统的非线形摄动,混沌理论研究的最早的一个结果是 KAM theorem 。这定理阐明,对于微小摄动,环面不变量是稳定的。
作用量-角度坐标,对于户田晶格 (Toda field theory) 的解析,对于 Lax pairs 的定义,更广义地,对于一个系统同光谱 (isospectral) 演化的构想,都占有关键地位。