酉矩阵

在线性代数中，酉矩阵（又译作幺正矩阵，英语：unitary matrix）指其共轭转置恰为其逆矩阵的复数方阵，数学描述如下：

（数学定义）${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}}$，

（推论）${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵
向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积（向量积 · 七维向量积） · 内积（数量积） · 二重向量 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 · 克罗内克积 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
查 论 编

其中 U* 是 U 的共轭转置，I_n 是 n×n 单位矩阵。

酉矩阵是正交矩阵（元素均为实数）在复数的推广。

例子

以下是一个酉矩阵的例子：

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}}$。

验证如下：

${\displaystyle U^{*}U={\begin{bmatrix}{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle UU^{*}={\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}$

性质

从定义可知，酉矩阵满足以下性质：

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}}$ 。

由此可见，酉矩阵与其共轭转置 U* 矩阵乘法可交换，是正规矩阵。

酉矩阵亦必定可逆，且逆矩阵等于其共轭转置：

${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$。

酉矩阵 U 的所有特征值 λ_n ，都是绝对值等于 1 的复数：

${\displaystyle \left|\lambda _{n}\right|=1}$ 。

因此，酉矩阵 U 行列式的绝对值也是 1：

${\displaystyle \left|\det(U)\right|=1}$ 。

酉矩阵 U 不会改变两个复向量 x 和 y 的点积：

${\displaystyle (U\mathbf {x} )\cdot (U\mathbf {y} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }$。

更一般地说，所有希尔伯特内积也不会改变：

${\displaystyle \langle U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }$。

若 U 及 V 都是酉矩阵，则 UV 也是酉矩阵：

${\displaystyle (UV)^{*}(UV)=(UV)(UV)^{*}=I_{n}}$。

若 U 为 n×n 矩阵，则下列条件等价：

1. U 是幺正矩阵
2. U^*是幺正矩阵
3. U 的列向量是在 Cⁿ 上的一组标准正交基
4. U 的行向量是在 Cⁿ 上的一组标准正交基

给定任意的 n ，所有 n 阶幺正矩阵的集合 G 与矩阵乘法“⋅”，都能构成一个群 (G, ⋅ )。

幺正对角化

幺正对角化（又译作幺正對角化，英语：unitary diagonalisation），指把一个矩阵 A 对角化成以下形式：

${\displaystyle A=UDU^{*}}$ ，

其中 U 是酉矩阵，D 是对角矩阵。

根据谱定理，一个矩阵 A 可幺正对角化，当且仅当 A 是正规矩阵，即它与其共轭转置 A* 矩阵乘法可交换（A*A = AA*）。

由于酉矩阵本身也是一个正规矩阵，因此酉矩阵 U 也可幺正对角化：

${\displaystyle U=V\Sigma V^{*}\;}$，

其中 V 是酉矩阵，Σ 是对角矩阵。

参见

• 共轭转置
• 厄米矩阵
• 矩阵分解
• 酉群
• 幺正算符
• 辛矩阵

参考资料

• Rowland, Todd. "Unitary Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/UnitaryMatrix.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Peter V. O'Neil（2012）。高等工程数学（第7版）。黄孟槺译。华泰文化总经销，ISBN 978-1-285-10502-4。