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代数拓扑中,拓扑空间X 的上同调环是由X的上同调群与上积组成的环。此处,“上同调”指奇异上同调,不过环结构也存在于德拉姆上同调等其他理论中。它也是函子式的:对于空间中的连续映射,可在上同调环上得到反变(contravariant)的环同态。
具体来说,给定X上的上同调群序列,其系数在交换环R(一般是Zn、Z、 Q、R、C)中,就可以定义上积:
上积给出了上同调群
的直和的乘法,将变成了环。实际上,它自然是一个N次环,非负整数k为次数。上积保持分次不变。
上同调环是分次交换的,即上积与由分次定义的符号交换。具体地,对度为k、ℓ的纯元素,有
上同调环衍生出的一个数值不变量是上积长(cup-length),即度数≥ 1、积不为零的分次元素的最大数目。例如,复射影空间的上积长等于其复维度。
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