非標準實數

超實數，用於非標準分析，故亦曰非標準實數，乃魯賓遜所創也。

尚有同名數系，可見超實數。

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

初，牛頓、萊布尼茨立微積分，論極限，謂兩數相差，小之又小，以至無窮小，則如何如何。然無窮小之物，似零非零，疇人病之，謂不合理則也。已而百年，微積分盡可定義於實數，而無窮小殆不復見。然以無窮小言極限，頗合直觀，故仍偶見於入門課本。一九六零年，魯賓遜另闢蹊徑，立新數系，取名超實數，為實數之引伸，且有無窮小及無窮大。以此數系算微積分，世稱非標準分析。

算

數可四分︰曰實數、曰無窮大、曰無窮小、曰實數加無窮小。

無窮大與無窮大之積，無窮大也。正無窮大與正無窮大之和，正無窮大也。負無窮大與負無窮大之和，負無窮大也。正無窮大與負無窮大之和，未可知也。

無窮小與無窮小之積，無窮小也。正無窮小與正無窮小之和，正無窮小也。負無窮小與負無窮小之和，負無窮小也。正無窮小與負無窮小之和，零或無窮小也。

無窮大與無窮小之和，無窮大也。無窮大與無窮小之積，未可知也。

無窮大與實數之和，無窮大也。無窮大與非零實數之積，無窮大也。無窮大與零之積，零也。

無窮小與非零實數之積，無窮小也。無窮小與零之積，零也。

無窮大之倒數，無窮小也。

問曰：若甲趨向三，則其方之極限若干？

答曰：甲趨向三，則甲乃三加無窮小也。因甲之方為九加無窮小，可知極限為九。

集

凡實數，可得一恆序列（「${\displaystyle (\forall n)a_{n}=a}$」）。

嘗有實數序列之集，含所有恆序列，兼有如斯特性：凡有序列甲乙，必有一項，其後甲必大於乙，或甲必小於乙也^[1] 。此等集合之極大者，超實數集是也。

自然數之倒數序列（「${\displaystyle \{1/n\}_{n=1,2,\ldots }}$」），無窮小也。偶數之倒數序列（「${\displaystyle \{1/{2n}\}_{n=1,2,\ldots }}$」），亦無窮小也。

自然數之序列（「${\displaystyle \{n\}_{n=1,2,\ldots }}$」），無窮大也。偶數之序列（「${\displaystyle \{2n\}_{n=1,2,\ldots }}$」），亦無窮大也。

四則運算，逐項算之（「{a_n}*{b_n}={a_n*b_n}」，* 可為加減乘除也）。

註

1. 存在 k，凡 n≥k a_n ≥ b_n， 或凡 n≥k a_n ≤ b_n