四元數

四元數者，四維之數也。夫實數者，線之數也；複數，平面之數也；哈密頓嘗問：「可有三維之數耶？」苦思良久，於都柏林皇家運河畔，得悟四維之數矣，時一八四三年十月十六日。聚以成集，記曰${\displaystyle \mathbb {H} }$。

四元數之奇，乘法不合交換律耳。雖知其時之算，殆無不合交換律者^[一]，故哈密頓之悟，實石破天驚之舉耳。

算

四元數者，一實三虛之數也。三虛者，以天（「i」）、地（「j」）、人（「k」）記之。觀乎複數，一實一虛而已，故四元數之用，實乃窮複數之理，故亦曰超複數耳。

問曰：實二天三地五人負一（「2+3i+5j-k」）者，何物耶？

答曰：四維空間內，座標「二、三、五、負一」之點也。

二數加減，實虛自理（「${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)+(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i+(c_{1}+c_{2})j+(d_{1}+d_{2})k,(a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)-(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i+(c_{1}-c_{2})j+(d_{1}-d_{2})k}$」）。

二數相乘，有口訣云：天天，地地，人人，天地人，盡負一（「${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$」）。或曰：

天天，地地，人人，負一（「${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1}$」）；

天地得人，地天得負人（「${\displaystyle i\,j=k,\,j\,i=-k}$」）；

地人得天，人地得負天（「${\displaystyle j\,k=i,\,k\,j=-i}$」）；

人天得地，天人得負地（「${\displaystyle k\,i=j,\,i\,k=-j}$」）。

如實二地三乘實一天二，得實二天四地三人負六（「${\displaystyle (2+3j)(1+2i)=2+4i+3j-6k}$」）。

虛負之，曰軛（記曰「${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi-cj-dk}$」）。

合虛實之方，復開方之，曰模（記曰「${\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$」）。

數軛相乘，為模之方耳。

二數相除，用模軛求商法，被除者乘除者之倒數也（記曰「${\displaystyle z_{1}/z_{2}=z_{1}z_{2}^{-1}=(z_{1}{\bar {z_{2}}})/(|z_{2}|^{2})}$」）。