Quá trình Gram–Schmidt

Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực đại số tuyến tính và giải tích số, quá trình Gram–Schmidt là một phương pháp trực chuẩn hóa một tập hợp các vectơ trong một không gian tích trong, thường là không gian Euclid Rⁿ được trang bị tích trong tiêu chuẩn. Quá trình Gram–Schmidt xử lý một tập hợp vectơ hữu hạn và độc lập tuyến tính S = {v₁,..., v_k} với k ≤ n và tạo ra từ tập đã cho một tập vectơ trực giao S′ = {u₁,..., u_k} sinh ra không gian con k chiều của Rⁿ tương tự không gian sinh bởi tập S.

Hai bước đầu tiên của quá trình Gram–Schmidt

Phương pháp này được đặt tên theo Jørgen Pedersen Gram và Erhard Schmidt, nhưng Pierre-Simon Laplace đã quen thuộc với nó trước Gram và Schmidt.^[1] Trong lý thuyết phân rã nhóm Lie nó được tổng quát hóa bởi phân rã Iwasawa.

Áp dụng quá trình Gram–Schmidt vào các vectơ cột của một ma trận với hạng cột đầy đủ, ta có phép phân rã QR (ma trận đó được phân rã thành một ma trận trực giao và tam giác).

Quá trình Gram–Schmidt

Quá trình Gram-Schmidt (có cải tiến) được thực hiện trên ba vectơ độc lập tuyến tính không trực giao của một cơ sở cho không gian R³. Nhấp vào ảnh để xem chi tiết.

Ta định nghĩa toán tử chiếu vectơ bởi

${\displaystyle \mathrm {proj} _{\mathbf {u} }\,(\mathbf {v} )={\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \over \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }{\mathbf {u} },}$

trong đó ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }$ ký hiệu tích trong của hai vectơ u và v. Toán tử chiếu trực giao vectơ v vào đường thẳng span bởi vectơ u. Nếu u = 0, ta định nghĩa ${\displaystyle \mathrm {proj} _{0}\,(\mathbf {v} ):=0}$, tức là ánh xạ chiếu ${\displaystyle \mathrm {proj} _{0}}$ là ánh xạ không, nó biến mọi vectơ thành vectơ không.

Quá trình Gram–Schmidt sau đó được tiến hành như sau:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&=\mathbf {v} _{1},&\mathbf {e} _{1}&={\mathbf {u} _{1} \over \|\mathbf {u} _{1}\|}\\\mathbf {u} _{2}&=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{2}),&\mathbf {e} _{2}&={\mathbf {u} _{2} \over \|\mathbf {u} _{2}\|}\\\mathbf {u} _{3}&=\mathbf {v} _{3}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{3})-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\,(\mathbf {v} _{3}),&\mathbf {e} _{3}&={\mathbf {u} _{3} \over \|\mathbf {u} _{3}\|}\\\mathbf {u} _{4}&=\mathbf {v} _{4}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{4})-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\,(\mathbf {v} _{4})-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{3}}\,(\mathbf {v} _{4}),&\mathbf {e} _{4}&={\mathbf {u} _{4} \over \|\mathbf {u} _{4}\|}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \\\mathbf {u} _{k}&=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{j}}\,(\mathbf {v} _{k}),&\mathbf {e} _{k}&={\mathbf {u} _{k} \over \|\mathbf {u} _{k}\|}.\end{aligned}}}$

Dãy u₁,..., u_k là dãy vectơ trực giao cần tìm, và các vectơ được chuẩn hóa e₁,..., e_k tạo thành một tập hợp trực chuẩn. Việc tính toán dãy u₁,..., u_k được gọi là trực giao hóa Gram–Schmidt, còn việc tính toán dãy e₁,..., e_k được gọi là trực chuẩn hóa Gram–Schmidt bởi vì các vectơ đã được chuẩn hóa.

Để kiểm tra xem các công thức trên liệu có cho một dãy trực giao, đầu tiên ta tính ${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle }$ bằng cách thế vào công thức ở trên cho u₂: ta được 0. Sau đó sử dụng điều này để tính ${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{3}\rangle }$ bằng cách lại thế vào công thức ở trên cho u₃: ta tiếp tục được 0. Chứng minh tổng quát sau đó được tiếp tục nhờ phép quy nạp toán học.

Nói một cách hình học, phương pháp này được tiếp tục như sau: để tính u_i nó chiếu trực giao vectơ v_i vào không gian con U sinh bởi u₁,..., u_i−1, mà đó cũng là không gian con sinh bởi v₁,..., v_i−1. Vectơ u_i sau đó được định nghĩa là hiệu giữa v_i và hình chiếu này và đảm bảo là trực giao với tất cả các vectơ trong không gian con U.

Quá trình Gram–Schmidt cũng áp dụng cho một dãy độc lập tuyến tính và vô hạn đếm được {v_i}_i. Kết quả là một dãy trực giao (hay trực chuẩn) {u_i}_i sao cho với một số tự nhiên n: span đại số của v₁,..., v_n cũng chính là span của u₁,..., u_n.

Nếu quá trình Gram–Schmidt được áp dụng cho một dãy phụ thuộc tuyến tính, nó sẽ cho ra vectơ 0 ở bước thứ i, giả sử v_i là một tổ hợp tuyến tính của v₁,..., v_i−1. Nếu cần phải có một hệ cơ sở trực chuẩn thì thuật toán nên tìm ra các vectơ không trong các kết quả và loại bỏ chúng vì không có một bội nào của vectơ không mà có độ dài bằng 1. Số vectơ đầu ra của thuật toán sẽ bằng số chiều của không gian được span bởi các vectơ đầu vào.

Ví dụ

Không gian Euclide

Xét hệ vectơ sau trong R² (với tích trong quy ước chính là tích vô hướng)

${\displaystyle S=\left\lbrace \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\right\rbrace .}$

Bây giờ, thực hiện Gram–Schmidt để có được hệ các vectơ trực giao:

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathrm {proj} _{\mathbf {u} _{1}}\,(\mathbf {v} _{2})={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}-\mathrm {proj} _{({3 \atop 1})}\,({{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}})}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}-{8 \over 10}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}.}$

Ta kiểm tra rằng các vectơ u₁ và u₂ chắc chắn là trực giao:

${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}\right\rangle =-{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{5}}=0,}$

lưu ý rằng nếu tích vô hướng của hai vectơ bằng 0 thì chúng trực giao.

Đối với các vectơ khác vectơ không, ta có thể chuẩn hóa các vectơ đó bằng cách chia cho độ dài của chúng như dưới đây:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={1 \over {\sqrt {40 \over 25}}}{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}.}$

Tham khảo

1. Cheney, Ward; Kincaid, David (2009). Linear Algebra: Theory and Applications. Sudbury, Ma: Jones and Bartlett. tr. 544, 558. ISBN 978-0-7637-5020-6.

Tham khảo sách

• Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997), Numerical linear algebra, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9.
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (ấn bản thứ 3), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9.
• Greub, Werner (1975), Linear Algebra (ấn bản thứ 4), Springer.
• Soliverez, C. E.; Gagliano, E. (1985), “Orthonormalization on the plane: a geometric approach” (PDF), Mex. J. Phys., 31 (4): 743–758, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 7 tháng 3 năm 2014, truy cập ngày 25 tháng 2 năm 2021 Đã bỏ qua tham số không rõ |= (trợ giúp).

Liên kết ngoài

• Cổng thông tin toán học

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Orthogonalization”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Harvey Mudd College Math Tutorial on the Gram-Schmidt algorithm
• Earliest known uses of some of the words of mathematics: G The entry "Gram-Schmidt orthogonalization" has some information and references on the origins of the method.
• Demos: Gram Schmidt process in plane and Gram Schmidt process in space
• Gram-Schmidt orthogonalization applet
• NAG Gram–Schmidt orthogonalization of n vectors of order m routine
• Proof: Raymond Puzio, Keenan Kidwell. "proof of Gram-Schmidt orthogonalization algorithm" (version 8). PlanetMath.org.