From Wikipedia, the free encyclopedia
Số Fermat là một khái niệm trong toán học, mang tên nhà toán học Pháp Pierre de Fermat, người đầu tiên đưa ra khái niệm này. Nó là một số nguyên dương có dạng
Bài này không có nguồn tham khảo nào. |
với n là số nguyên không âm. Nếu một số Fermat là một số nguyên tố thì nó được gọi là số nguyên tố Fermat.
Số Fermat thỏa mãn các hệ thức truy hồi sau
,với , và
với . Mỗi hệ thức trên có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Trong đó từ hệ thức thứ hai ta có thể suy ra Giả thuyết Goldbach rằng không có 2 số Fermat phân biệt mà ước chung của chúng lớn hơn 1. Để kiểm tra điều này, giả sử 0 ≤ i < j và Fi với Fj có chung 1 ước số a > 1. Khi đó a là ước của và , suy ra a cũng phải là ước của 2, mà a lớn hơn 1 nên a bằng 2. Điều này mâu thuẫn bởi mọi số Fermat là số lẻ.
Đồng thời như một kết quả tất yếu, ta tìm được cách chứng minh khác cho sự vô hạn của số nguyên tố. Với mỗi Fn, chọn một ước nguyên tố pn thì dãy {pn} tạo thành một dãy chứa vô hạn các số nguyên tố phân biệt.
F0 | = | 21 | + | 1 | = | 3 | |
F1 | = | 22 | + | 1 | = | 5 | |
F2 | = | 24 | + | 1 | = | 17 | |
F3 | = | 28 | + | 1 | = | 257 | |
F4 | = | 216 | + | 1 | = | 65 537 | |
F5 | = | 232 | + | 1 | = | 4 294 967 297 | |
= | 641 × 6 700 417 | ||||||
F6 | = | 264 | + | 1 | = | 18 446 744 073 709 551 617 | |
= | 274 177 × 67 280 421 310 721 | ||||||
F7 | = | 2128 | + | 1 | = | 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 457 | |
= | 59 649 589 127 497 217 × 5 704 689 200 685 129 054 721 | ||||||
F8 | = | 2256 | + | 1 | = | 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 937 | |
= | 1 238 926 361 552 897 × 93 461 639 715 357 977 769 163 558 199 606 896 584 051 237 541 638 188 580 280 321 | ||||||
F9 | = | 2512 | + | 1 | = | 13 407 807 929 942 597 099 574 024 998 205 846 127 479 365 820 592 393 377 723 561 443 721 764 030 073 546 976 801 874 298 166 903 427 690 031 858 186 486 050 853 753 882 811 946 569 946 433 649 006 084 097 | |
= | 2 424 833 × 7 455 602 825 647 884 208 337 395 736 200 454 918 783 366 342 657 × 741 640 062 627 530 801 524 787 141 901 937 474 059 940 781 097 519 023 905 821 316 144 415 759 504 705 008 092 818 711 693 940 737 |
Khi nghiên cứu các số có dạng 22n + 1, Fermat đã tính ra được với n = 0, 1, 2, 3, 4 thì số có dạng trên là số nguyên tố, từ đó ông đưa ra dự đoán các số có dạng như trên đều là số nguyên tố. Từ đó các số có dạng thức như trên được gọi là số Fermat.
Tuy nhiên đến năm 1732, Euler đã phủ định dự đoán trên bằng cách chứng minh F5 là hợp số.
Bằng cách biểu thị:
Euler đã suy ra: , dẫn đến . Mặt khác nên suy ra . Vậy F5 chia hết cho 641.
Euler cũng đã chứng minh được mọi ước nguyên tố của Fn đều có dạng k2n + 2 + 1.
Đến nay người ta vẫn chưa tìm ra nổi thêm số Fermat nào nguyên tố nữa, trong khi đã có hơn 70 hợp số của số Fermat đã được kiểm chứng.
Một trong những cách phân tích có uy tín nhất hiện nay là phân tích Fn ra tổng hai bình phương (chúng có dạng 4k + 1, hoàn toàn làm được). Phân tích cơ bản nhất là:
Nếu như tồn tại một cách biểu diễn khác, giả dụ Fn = x2 + y2 (với x > y) thì tính kết quả của:
Ví dụ:
Nhờ đó người ta đã phân tích ra thừa số nguyên tố của các số từ F5 đến F11, thậm chí còn tìm ra ước nguyên tố của các số lớn hơn thế nữa.
Ví dụ:
Ta có thể tính gần đúng số chữ số của chúng bằng hệ thức gần đúng:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.