Điểm đối trung

Trong hình học phẳng, điểm đối trung, hay điểm Lemoine, điểm Grebe, là một điểm đặc biệt của tam giác, ba đường đối trung của tam giác sẽ đồng quy tại điểm đối trung của tam giác. Đường đối trung là đường thẳng đối xứng của đường trung tuyến qua đường phân giác tương ứng. Trong Bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác điểm đối trung được ký hiệu là X(6).^[1]

Đối xứng của ba đường trung tuyến qua ba đường phân giác tương ứng sẽ đồng quy tại điểm đối trung của tam giác

Tính chất

• Điểm đối trung là điểm liên hợp đẳng giác của trọng tâm của tam giác
• Điểm Gergonne của một tam giác là điểm đối trung của tam giác tiếp xúc trong của tam giác đó.^[2]

• Cho tam giác ABC, Đường thẳng song song với cạch BC và đi qua điểm đối trung AB, AC tại A_C,A_B. Đường thẳng song song với cạch CA đi qua điểm đối trung cắt hai cạnh BA, BC tại B_C,B_A. Đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh CA, CB tại C_B, C_A. Khi đó sáu điểm A_C, A_B, B_C, B_A, C_B, C_A nằm trên đường tròn Lemoine thứ nhất của tam giác ABC.^[3]
• Cho tam giác ABC, Đường thẳng ngược song song với cạch BC và đi qua điểm đối trung AB, AC tại A_C,A_B. Đường thẳng ngược song song với cạch CA đi qua điểm đối trung cắt hai cạnh BA, BC tại B_C,B_A. Đường thẳng ngược song song với AB cắt hai cạnh CA, CB tại C_B, C_A. Khi đó sáu điểm A_C, A_B, B_C, B_A, C_B, C_A nằm trên đường tròn Lemoine thứ hai của tam giác ABC.^[4]

Lịch sử

Điểm đối trung được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học. Nhà toán học pháp Émile Lemoine người pháp đã chứng minh các kết quả về điểm đối trung năm 1873, và Ernst Wilhelm Grebe công bố nó trên một bài báo năm 1847. Simon Antoine Jean L'Huilier cũng đề cập về điểm này năm 1809.^[5]

Xem thêm

• Điểm liên hợp đẳng giác
• Tâm nội tiếp
• Trọng tâm

Tham khảo

1. Encyclopedia of Triangle Centers: This is PART 1: Introduction and Centers X(1) - X(1000), accessed 2014-11-06.
2. Beban-Brkić, J.; Volenec, V.; Kolar-Begović, Z.; Kolar-Šuper, R. (2013), “On Gergonne point of the triangle in isotropic plane”, Rad Hrvatske Akademije Znanosti i Umjetnosti, 17: 95–106, MR 3100227.
3. Casey, J. "Lemoine's, Tucker's, and Taylor's Circle." Supp. Ch. §3 in A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 179-189, 1888.
4. Altshiller-Court, N. College Geometry: A Second Course in Plane Geometry for Colleges and Normal Schools, 2nd ed., rev. enl. New York: Barnes and Noble, 1952
5. Honsberger, Ross (1995), “Chapter 7: The Symmedian Point”, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, D.C.: Mathematical Association of America.

Liên kết ngoài

• Symmedian and Antiparallel at Cut-The-Knot
• Symmedian and 2 Antiparallels at Cut-The-Knot
• Symmedian and the Tangents at Cut-The-Knot
• An interactive Java applet for the symmedian point Lưu trữ 2008-06-07 tại Wayback Machine
• Weisstein, Eric W., "Symmedian Point", MathWorld.
• Isogons and Isogonic Symmetry Lưu trữ 2013-10-23 tại Wayback Machine
• X(6) = SYMMEDIAN POINT (LEMOINE POINT, GREBE POINT)