VI
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

Độ cong

From Wikipedia, the free encyclopedia

Độ cong
Độ cong của một đường congĐịnh nghĩaTính độ cong của một đường cong phẳngTrong hệ tọa độ DescartesTrong hệ tọa độ cựcVí dụĐường thẳngĐường trònCác đường khácĐộ cong của một đường cong ghềnhĐộ cong của một mặt congĐộ cong GaussĐộ cong trung bìnhĐộ cong của một không gianTenxơ độ cong RiemannTenxơ độ cong RicciXem thêmTham khảo

Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung.

Định nghĩa

Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong R {\displaystyle R} {\displaystyle R} là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong κ {\displaystyle \kappa } {\displaystyle \kappa } chính là nghịch đảo của bán kính cong R {\displaystyle R} {\displaystyle R}.

κ = 1 R {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}} {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}}

Gọi d s {\displaystyle ds} {\displaystyle ds} là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và d ϕ {\displaystyle d\phi } {\displaystyle d\phi } là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:

κ = d ϕ d s {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}} {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}}

Tính độ cong của một đường cong phẳng

Trong hệ tọa độ Descartes

Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes

Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số { x = x ( t ) y = y ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}} {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}}, từ phần trên ta có định nghĩa:

κ = d ϕ d s = d ϕ d t d s d t = d ϕ d t ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = d ϕ d t x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\dfrac {ds}{dt}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {\left({\dfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\dfrac {dy}{dt}}\right)^{2}}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}} {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\dfrac {ds}{dt}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {\left({\dfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\dfrac {dy}{dt}}\right)^{2}}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}}

d ϕ {\displaystyle d\phi } {\displaystyle d\phi } là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa ϕ {\displaystyle \phi } {\displaystyle \phi } là góc tiếp tuyến của đường cong.

tan ⁡ ϕ = d y d x = d y d t d x d t = y ′ x ′ {\displaystyle \tan \phi ={\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}}={\dfrac {y'}{x'}}} {\displaystyle \tan \phi ={\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}}={\dfrac {y'}{x'}}}

Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số t {\displaystyle t} {\displaystyle t} ta được:

d d t ( tan ⁡ ϕ ) = ( 1 + tan 2 ϕ ) d ϕ d t = x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\tan \phi )=\left(1+{\tan }^{2}\phi \right){\frac {d\phi }{dt}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\tan \phi )=\left(1+{\tan }^{2}\phi \right){\frac {d\phi }{dt}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}}

⇔ d ϕ d t = 1 1 + tan 2 ϕ x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 = 1 1 + ( y ′ x ′ ) 2 x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 = x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {1}{1+{\tan }^{2}\phi }}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\frac {1}{1+{\left({\dfrac {y'}{x'}}\right)^{2}}}}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}} {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {1}{1+{\tan }^{2}\phi }}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\frac {1}{1+{\left({\dfrac {y'}{x'}}\right)^{2}}}}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}

Kết hợp các kết quả thu được ta có:

κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}} {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}}

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} {\displaystyle y=f(x)} thì độ cong được tính như sau:

κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}} {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}

Trong hệ tọa độ cực

Xem thêm: Hệ tọa độ cực

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số r = r ( θ ) {\displaystyle r=r(\theta )} {\displaystyle r=r(\theta )} thì độ cong được tính như sau:

κ = r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − r d 2 r d θ 2 [ r 2 + ( d r d θ ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}} {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}

Ví dụ

Đường thẳng

Đường thẳng { x = t y = a t + b {\displaystyle {\begin{cases}x=t\\y=at+b\end{cases}}} {\displaystyle {\begin{cases}x=t\\y=at+b\end{cases}}} hay y = a x + b {\displaystyle y=ax+b} {\displaystyle y=ax+b} sẽ có độ cong được tính như sau:

x ′ = 1 , x ″ = 0 , y ′ = a , y ″ = 0 , d y d x = a , d 2 y d x 2 = 0 {\displaystyle x'=1,\quad x''=0,\quad y'=a,\quad y''=0,\quad {\dfrac {dy}{dx}}=a,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0} {\displaystyle x'=1,\quad x''=0,\quad y'=a,\quad y''=0,\quad {\dfrac {dy}{dx}}=a,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}

Áp dụng công thức ta có:

κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = 1 ⋅ 0 − a ⋅ 0 ( 1 2 + a 2 ) 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {1\cdot 0-a\cdot 0}{\left({1}^{2}+{a}^{2}\right)^{3/2}}}=0} {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {1\cdot 0-a\cdot 0}{\left({1}^{2}+{a}^{2}\right)^{3/2}}}=0}

hay công thức:

κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 = 0 [ 1 + a 2 ] 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0} {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0}

Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

Đường tròn

Đường tròn { x = R cos ⁡ t y = R sin ⁡ t {\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{cases}}} {\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{cases}}} hay r = R {\displaystyle r=R} {\displaystyle r=R} sẽ có độ cong được tính như sau:

x ′ = − R sin ⁡ t , x ″ = − R cos ⁡ t , y ′ = R cos ⁡ t , y ″ = − R sin ⁡ t , d r d θ = 0 , d 2 r d θ 2 = 0 {\displaystyle x'=-R\sin t,\quad x''=-R\cos t,\quad y'=R\cos t,\quad y''=-R\sin t,\quad {\dfrac {dr}{d\theta }}=0,\quad {\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}=0} {\displaystyle x'=-R\sin t,\quad x''=-R\cos t,\quad y'=R\cos t,\quad y''=-R\sin t,\quad {\dfrac {dr}{d\theta }}=0,\quad {\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}=0}

Áp dụng công thức ta có:

κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = ( − R sin ⁡ t ) ⋅ ( − R sin ⁡ t ) − ( R cos ⁡ t ) ⋅ ( − R cos ⁡ t ) [ ( − R sin ⁡ t ) 2 + ( R cos ⁡ t ) 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}} {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}

hay công thức:

κ = r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − r d 2 r d θ 2 [ r 2 + ( d r d θ ) 2 ] 3 / 2 = R 2 + 2 ⋅ 0 2 − R ⋅ 0 [ R 2 + 0 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}} {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}

Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.

Các đường khác
  • Đường parabol y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}} {\displaystyle y=ax^{2}} sẽ có độ cong được tính như sau:
d y d x = 2 a x , d 2 y d x 2 = 2 a {\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}=2ax,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2a} {\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}=2ax,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2a}

Áp dụng công thức ta có:

κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 = 2 a [ 1 + ( 2 a x ) 2 ] 3 / 2 = 2 a ( 1 + 4 a 2 x 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}} {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}
  • Đường ellipse { x = a cos ⁡ t y = b sin ⁡ t {\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}} {\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}} sẽ có độ cong được tính như sau:
x ′ = − a sin ⁡ t , x ″ = − a cos ⁡ t , y ′ = b cos ⁡ t , y ″ = − b sin ⁡ t {\displaystyle x'=-a\sin t,\quad x''=-a\cos t,\quad y'=b\cos t,\quad y''=-b\sin t} {\displaystyle x'=-a\sin t,\quad x''=-a\cos t,\quad y'=b\cos t,\quad y''=-b\sin t}

Áp dụng công thức ta có:

κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = ( − a sin ⁡ t ) ⋅ ( − b sin ⁡ t ) − ( b cos ⁡ t ) ⋅ ( − a cos ⁡ t ) [ ( − a sin ⁡ t ) 2 + ( b cos ⁡ t ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}} {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}}
= a b [ ( a y b ) 2 + ( b x a ) 2 ] 3 / 2 = a b [ a 2 ( 1 − x 2 a 2 ) + b 2 a 2 x 2 ] 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right)+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}} {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right)+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}}
= a b [ a 2 − ( 1 − b 2 a 2 ) x 2 ] 3 / 2 = a b ( a 2 − e 2 x 2 ) 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}} {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}

với e = 1 − b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}} {\displaystyle e={\sqrt {1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}} là tâm sai của ellipse.

Độ cong của một đường cong ghềnh

Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes { x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}} {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}} được tính theo công thức

κ = ( z ″ y ′ − y ″ z ′ ) 2 + ( x ″ z ′ − z ″ x ′ ) 2 + ( y ″ x ′ − x ″ y ′ ) 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}} {\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}

Độ cong Gauss

Bài chi tiết: Độ cong Gauss

Độ cong trung bình

Tenxơ độ cong Riemann

Tenxơ độ cong Ricci

  • Bán kính cong
  • Đa tạp Riemann
  • Hệ tọa độ Descartes
  • Hệ tọa độ cực
  • Hình học vi phân

    John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds

    Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

    Wikiwand in your browser!

    Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

    Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

    Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

    Chrome
    Wikiwand for Chrome
    Edge
    Wikiwand for Edge
    Firefox
    Wikiwand for Firefox

    Độ cong của một đường cong

    Độ cong của một mặt cong

    Độ cong của một không gian

    Xem thêm

    Tham khảo