Định lý lấy mẫu Nyquist–Shannon

Định lý lấy mẫu Nyquist là một định lý được sử dụng trong lĩnh vực lý thuyết thông tin, đặc biệt là trong viễn thông và xử lý tín hiệu do Harry Nyquist và Claude Shannon phát minh. Lấy mẫu là quá trình chuyển đổi một tín hiệu (ví dụ, là một hàm liên tục theo không thời gian) thành một chuỗi số (một hàm rời rạc theo không thời gian). Định lý lấy mẫu được phát biểu như sau:^[1][2]

Một hàm số tín hiệu x(t) không chứa bất kỳ thành phần tần số nào lớn hơn hoặc bằng một giá trị f_m có thể biểu diễn chính xác bằng tập các giá trị của nó với chu kỳ lấy mẫu T = 1/(2f_m).

Hình.1: Phổ giả định của một tín hiệu có tần số giới hạn (bandlimiting) được biểu diễn như là một hàm số theo tần số

Như vậy, tần số lấy mẫu phải thoả mãn điều kiện f_s ≥ 2f_m. Tần số giới hạn f_s/2 này được gọi là tần số Nyquist và khoảng (-f_s/2; f_s/2) gọi là khoảng Nyquist. Thực tế, tín hiệu trước khi lấy mẫu sẽ bị giới hạn bằng một bộ lọc để tần số tín hiệu nằm trong khoảng Nyquist.^[2]

Định lý này thường được gọi là định lý lấy mẫu Nyquist, nhưng kể từ khi nó được phát hiện một cách độc lập bởi E.T. Whittaker, bởi Vladimir Kotelnikov, và bởi những người khác, thì nó còn được gọi là Nyquist-Shannon-Kotelnikov, Whittaker-Shannon-Kotelnikov, Whittaker-Nyquist-KotelnikovShannon, WKS, hay định lý cơ bản của lý thuyết nội suy. Nhưng nó thường được gọi đơn giản là định lý lấy mẫu.

Về bản chất, định lý cho thấy một tín hiệu tương tự (analog) có tần số giới hạn đã được lấy mẫu có thể được tái tạo hoàn toàn từ một chuỗi vô số các mẫu nếu tỷ lệ lấy mẫu lớn hơn 2f_m mẫu trong 1 giây, f_m là các tần số lớn nhất của tín hiệu ban đầu. Shannon cho rằng nếu tín hiệu có chứa một thành phần có tần số chính xác bằng f_m Hz, thì các mẫu sẽ cách nhau đúng 1/(2f_m) giây sẽ không thể khôi phục hoàn toàn chính xác tín hiệu. Điều kiện đủ này có thể không chính xác như trong phần thảo luận tại lấy mẫu tín hiệu non-baseband dưới đây.

Các phát biểu của định lý gần đây đôi khi cẩn thận loại trừ giá trị bằng, có nghĩa là điều kiện nếu x(t) không có tần số nào cao hơn hoặc bằng f_m; điều này là tương tự phát biểu của Shannon trừ khi hàm số bao gồm một dạng sóng sin ổn định có chứa thành phần tại tần số chính xác f_m.

Chú thích

1. C. E. Shannon, "Communication in the presence of noise", Proc. Institute of Radio Engineers, vol. 37, no. 1, pp. 10–21, Jan. 1949. Reprint as classic paper in: Proc. IEEE, vol. 86, no. 2, (Feb. 1998) Lưu trữ 2010-02-08 tại Wayback Machine
2. Phạm Hùng Kim Khánh, "Tài liệu Xử lý số tín hiệu", Chương 1 SỐ HÓA TÍN HIỆU – LẤY MẪU VÀ MÃ HÓA PDF

Tham khảo

• J. R. Higgins: Five short stories about the cardinal series, Bulletin of the AMS 12(1985)
• V. A. Kotelnikov, "On the carrying capacity of the ether and wire in telecommunications", Material for the First All-Union Conference on Questions of Communication, Izd. Red. Upr. Svyazi RKKA, Moscow, 1933 (Russian). (english translation, PDF) Lưu trữ 2021-03-01 tại Wayback Machine
• Karl Küpfmüller, "Utjämningsförlopp inom Telegraf- och Telefontekniken", ("Transients in telegraph and telephone engineering"), Teknisk Tidskrift, no. 9 pp. 153–160 and 10 pp. 178–182, 1931.
• R.J. Marks II: Introduction to Shannon Sampling and Interpolation Theory, Spinger-Verlag, 1991.
• R.J. Marks II, Editor: Advanced Topics in Shannon Sampling and Interpolation Theory, Springer-Verlag, 1993.
• R.J. Marks II, Handbook of Fourier Analysis and Its Applications, Oxford University Press, (2009), Chapters 5-8. Google books.
• H. Nyquist, "Certain topics in telegraph transmission theory", Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617–644, Apr. 1928 Reprint as classic paper in: Proc. IEEE, Vol. 90, No. 2, Feb 2002.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), “Section 13.11. Numerical Use of the Sampling Theorem”, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (ấn bản thứ 3), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, Bản gốc lưu trữ ngày 11 tháng 8 năm 2011, truy cập ngày 30 tháng 10 năm 2011
• C. E. Shannon, "Communication in the presence of noise", Proc. Institute of Radio Engineers, vol. 37, no.1, pp. 10–21, Jan. 1949. Reprint as classic paper in: Proc. IEEE, Vol. 86, No. 2, (Feb 1998) Lưu trữ 2010-02-08 tại Wayback Machine
• Michael Unser: Sampling-50 Years after Shannon Lưu trữ 2006-07-09 tại Wayback Machine, Proc. IEEE, vol. 88, no. 4, pp. 569–587, April 2000
• E. T. Whittaker, "On the Functions Which are Represented by the Expansions of the Interpolation Theory", Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sec. A, vol.35, pp. 181–194, 1915
• J. M. Whittaker, Interpolatory Function Theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge, England, 1935.

Liên kết ngoài

• Learning by Simulations Interactive simulation of the effects of inadequate sampling
• Undersampling and an application of it
• Sampling Theory For Digital Audio Lưu trữ 2006-06-14 tại Wayback Machine
• Journal devoted to Sampling Theory
• "The Origins of the Sampling Theorem" by Hans Dieter Lüke published in "IEEE Communications Magazine" April 1999