Kasr

Kasr (arabcha: كسر — boʻlak, parcha) — matematikada birning bitta yoki bir nechta qismidan (boʻlagidan) iborat son. Kasr ikkita butun sonning nisbati bilan ifodalanadi: ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$ yoki n/m. Bu yerda m kasrning maxraji, n boʻlsa surati deyiladi. Maxraj chiziqning ostiga (yoki ketiga), surat boʻlsa chiziqning ustiga (yoki oldiga) yoziladi.

Toʻrtdan bir qismi (choragi) olingan tort. Qolgan toʻrtdan uch qismi rasmda koʻrsatilgan. Nuqtali chiziqlar tortni teng boʻlaklarga boʻlish uchun qanday kesish mumkinligini koʻrsatadi. Tortning har bir choragi ¼ kasri bilan belgilanadi.

Maxraj bir sonni necha boʻlakka boʻlinganini koʻrsatadi, surat boʻlsa shu kasrda shunday ulushlardan nechta borligini koʻrsatadi. Masalan, ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ kasrida surat 3 dir va u kasr teng uch boʻlakni ifodalashini koʻrsatadi. Maxraj boʻlsa 4 dir va u toʻrtta boʻlak bir boʻlib butunni hosil qilishini anglatadi.

Matematikada ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ koʻrinishida yozsa boʻladigan barcha sonlar ratsional sonlar toʻplamiga kiradi. Bu yerda a va b butun sonlardir va b 0 ga teng emas (b‡0).

Kasr sonlar yaqqol surat yoki maxrajli boʻlmasligi ham mumkin, masalan oʻnli kasr, foiz, manfiy darajalar (mos ravishda 0,01, 1% va 10⁻²; bularning har biri 1/100 ga teng). Butun sonni ham maxraji 1 ga teng kasr koʻrinishida yozish mumkin: masalan 7 va 7/1 bir-biriga teng.

Kasrlar nisbat va boʻlinmalarni ifodalashda ham ishlatiladi.^[1] Masalan, 3/4 kasr 3:4 nisbat va 3 ÷ 4 boʻlinmani ifodalaydi.

Kasr turlari

Oddiy kasrlar

Oddiy (yoki sodda) kasr ratsional soning ${\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}$ yoki ${\displaystyle \pm m/n}$ koʻrinishida yozilganidir. Bunda ${\displaystyle n\neq 0.}$ Boʻlinuvchi kasrning surati deyiladi. Boʻluvchi boʻlsa kasrning maxraji deb ataladi.

Oddiy kasrlarni yozish

Ilmiy bosma etishda kasrlarni yozishning toʻrt usuli bor:^[2]

• maxsus kasrlar: egri chiziqli va bir belgi qilib berilgan kasrlar. Matndagi boshqa belgilar bilan teng balandlikka va kenglikka ega. Odatda sodda kasrlar uchun qoʻllanadi, masalan: ½, ⅓, ⅔, ¼ va ¾. Sonlar kichikligi uchun koʻp fontlarda bunday yozilgan kasrlarni oʻqish muammo boʻlishi mumkin.

Zamonaviy matematik analizda ishlatilmaydi. Boshqa joylarda ishlatiladi;

• satr kasrlari: maxsus kasrlarga oʻxshash, ammo gorizontal chiziq bilan yoziladi. Masalan, boshqa belgilar bilan bir xil balandlikdagi ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ kasri;
• shilling kasrlari: 1/2; bunday nomlanishiga sabab bu yozish Britaniya puli (£sd) bilan ishlatilgan. Masalan, 2 shilling va 6 pennini yarim krona deb 2/6 kabi yozishgan. „Ikki shilling va 6 penni“ kasr boʻlmagan boʻlsa ham, oldinga qaragan egri chiziq hozir kasrlar bilan ishlatiladi. Masalan, satrlarni bir tekis qilib yozish uchun. Yana kasrlar ichidagi kasrlarni yoki darajalar ichidagi kasrlarni yozish uchun ishlatiladi (qarang: murakkab kasr);
• qavatli kasrlar: ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$; Bu belgilashda matnning ikki yoki undan koʻp satri ishlatiladi. Bunday yozish matnda satrlar orasida joy ajratadi. Katta boʻlgani uchun oʻqish oson. Ammo, sodda kasrlarni yozishda yoki murakkab kasrlar ichidagi kasrlarni yozishda ishlatilsa muammoli boʻlishi mumkin.

Toʻgʻri va notoʻgʻri kasrlar

Toʻgʻri kasr deb suratining moduli maxrajining modulidan kichkina kasrga aytiladi. Agar kasr toʻgʻri boʻlmasa u notoʻgʻri kasr deb ataladi. Notoʻgʻri kasrlar birga teng yoki katta boʻladi.

Masalan, ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$, ${\displaystyle {\frac {7}{8}}}$ va ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ kasrlari toʻgʻri kasrlardir. ${\displaystyle {\frac {8}{3}}}$, ${\displaystyle {\frac {9}{5}}}$, ${\displaystyle {\frac {2}{1}}}$ va ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$ kasrlari boʻlsa notoʻgʻri kasrlardir. Har qanday butun sonni notoʻgʻri kasr qilib yozish uchun, 1 sonini maxraj qilib olish kerak.

Aralash kasrlar

Butun son va toʻgʻri kasr bilan yozilgan kasr aralash kasr deb nomlanadi. Murakkab kasrni undagi butun son bilan kasrning yigʻindisi deb tushuniladi. Har qanday ratsional sonni aralash kasr qilib yozish mumkin. Faqat surat va maxrajga ega kasr sodda kasr deb nomlanadi.

Masalan, ${\displaystyle 2{\frac {3}{7}}}$ kasri murakkab kasrdir. Bunda ${\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}}$.

Kasrning balandligi

Oddiy kasrning balandligi — shu kasrning surati va maxraji modullari yigʻindisidir. Ratsional sonning balandligi — shu songa mos keluvchi qisqarmaydigan oddiy kasrning surat va maxraji modullari yigʻindisidir.

Masalan, ${\displaystyle -{\frac {15}{6}}}$ kasrning balandligi ${\displaystyle 15+6=21}$ ga teng. Mos keluvchi ratsional sonning balandligi boʻlsa ${\displaystyle 5+2=7}$ ga teng. Chunki ${\displaystyle -{\frac {15}{6}}}$ kasri ${\displaystyle 3}$ bilan qisqaradi (berilgan kasr ${\displaystyle 3}$ ga qisqarganidan keyin ${\displaystyle -{\frac {5}{2}}}$ hosil boʻladi va ${\displaystyle 5+2=7}$).

Qismli kasrlar

Koʻp qavatli yoki qismli kasr deb bir necha gorizontal chiziqlarga ega ifoda aytiladi. Baʼzan bunday kasrlarda egri chiziq ishlatiladi. Masalan:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}/{\frac {1}{3}}}$ yoki ${\displaystyle {\frac {1/2}{1/3}}}$ yoki ${\displaystyle {\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}}$

Oʻnli kasrlar

Oʻnli kasr deb kasrni xonali qilib yozilganiga aytiladi. Oʻnli kasrlar quyidagi koʻrinishga ega boʻladi:

${\displaystyle \pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots }$

Misol: ${\displaystyle 3{,}1415926}$.

Kasrning xonani belgilovchi vergulgacha boʻlgan qismi kasrning butun qismi hisoblanadi. Verguldan keyingi qismi — kasr qismi boʻladi. Verguldan keyin kasr tarkibiga kirgan oʻndan bir, yuzdan bir va boshqa ulushlar yoziladi.

Har qanday oddiy kasrni oʻnli kasr koʻrinishida yozish mumkin. Bunday qilganda hosil boʻlgan oʻnli kasrlarda verguldan keyin cheklangan miqdorda son boʻlishi yoki maʼlum bir sonlar guruhi qaytarilib kelishi mumkin, yaʼni davriy kasr hosil boʻlishi mumkin. Davriy boʻlmagan oʻnli kasrlar ham mavjud. Davriy oʻnli kasrlarni oddiy kasrga aylantirish usullari bor. Davriy boʻlmagan cheksiz oʻnli kasr hech qanday oddiy kasrga teng emas. Bunday sonlar irratsional sonlar deyiladi.

Kasrning maʼnosi va uning asosiy xossalari

Bir butunni toʻrt ulushga boʻlish

Kasr sonning faqat yozilishidir. Bitta songa bir necha kasr toʻgʻri kelishi mumkin, ham oddiy kasrlar, ham oʻnli kasrlar. Agar kasrning surat va maxrajini bir xil songa koʻpaytirsak,

${\displaystyle {\frac {P}{R}}={\frac {C\cdot P}{C\cdot R}}}$

kasrning qiymati oʻzidek qoladi, kasrlar har xil boʻlsa ham. Masalan,

${\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {9}{12}}={\frac {12}{16}}}$

Buning aksi ham toʻgʻridir. Yaʼni, agar kasrning surati va maxraji umumiy boʻluvchiga ega boʻlsa, unda ikkala qismni oʻsha songa boʻlish mumkin. Bu amal kasrni qisqartirish deb ataladi. Misol:

${\displaystyle ~{\frac {12}{16}}={\frac {12:4}{16:4}}={\frac {3}{4}}}$ — bu yerda kasrning surati va maxraji umumiy boʻluvchi 4 bilan qisqartirilgan.

Qisqarmaydigan kasr deb surati va maxraji sodda sonlardan iborat va ${\displaystyle ~\pm 1}$ dan boshqa umumiy boʻluvchiga ega boʻlmagan kasrga aytiladi.

Oʻnli kasrni odatda faqat bitta koʻrinishda yozish mumkin. Ammo, istisnolar mavjud. Misol:

${\displaystyle 0,999...=1}$ — ikki xil kasr bir songa toʻgʻri keladi.

Barcha kasrlar toʻplamining muhim xossalaridan biri uning zichligi, yaʼni ixtiyoriy ikkita turli kasrlar orasiga uchinchi kasr joylashtirish mumkin (butun sonlar toʻplami bunday xossaga ega emas).

Kasrlar ustida amallar

Bu boʻlimda oddiy kasrlar ustida qilinadigan amallar berilgan. Oʻnli kasrlar ustidagi amallar uchun oʻnli kasr maqolasiga qarang.

Umumiy maxraj topish

Kasrlarni solishtirish, qoʻshish va ayirish uchun ularni bir xil maxrajli qilib qaytadan tuzish kerak. Ikki kasr berilgan boʻlsin:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ va ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$.

Amallar ketma-ketligi:

• Maxrajlarning eng kichik umumiy karralisini (EKUK) topamiz: ${\displaystyle M=[b,d]}$.
• Birinchi kasrning suratini va maxrajini ${\displaystyle M/b}$ ga koʻpaytiramiz.
• Ikkinchi kasrning suratini va maxrajini ${\displaystyle M/d}$ ga koʻpaytiramiz.

Bundan keyin ikkala kasrning maxraji mos keladi (M ga teng boʻladi). Eng kichik umumiy karralisi sifatida sodda hollarda M oʻrniga istalgan boshqa umumiy koʻpaytuvchini olish mumkin, masalan, maxrajlarning koʻpaytmasini.

Solishtirish

Ikki sodda kasrni solishtirish uchun, ularni umumiy maxrajga olib kelish kerak va hosil boʻlgan kasrlarning suratlarini solishtirish kerak. Surati katta boʻlgan kasr katta boʻladi.

Masalan, ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$ va ${\displaystyle {\frac {4}{5}}}$ kasrlarini solishtirish kerak boʻlsin. EKUB (4, 5) = 20. Kasrlarning maxrajini 20 qilamiz.

${\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}}$

Bundan kelib chiqib, ${\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}$, chunki ${\displaystyle 15<16}$.

Qoʻshish va ayirish

Ikki sodda kasrni qoʻshish uchun ularni umumiy maxrajga olib kelish kerak. Keyin suratlarni qoʻshish kerak. Maxraj oʻziday qoladi. Masalan:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ + ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ = ${\displaystyle {\frac {3}{6}}}$ + ${\displaystyle {\frac {2}{6}}}$ = ${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$

Maxrajlar (bu yerda 2 va 3) uchun eng kichik umumiy boʻluvchi 6 ga tengdir.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ kasrining maxrajini 6 ga olib kelamiz. Buning uchun surat va maxrajni 3 ga koʻpaytirish kerak. Bu amaldan keyin ${\displaystyle {\frac {3}{6}}}$ hosil boʻladi.

${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ kasrini ham shu maxrajga olib kelamiz. Buning uchun surat va maxrajni 2 ga koʻpaytiramiz. Natijada ${\displaystyle {\frac {2}{6}}}$ hosil boʻladi.

Kasrlar orasidagi ayirmani topish uchun ularni umumiy maxrajga olib kelish kerak. Soʻngra suratlarni bir-biridan ayirib, maxrajni oʻziday qoldirish kerak. Masalan:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ — ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ = ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$ — ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ = ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

Maxrajlar (bu yerda 2 va 4) uchun eng kichik umumiy boʻluvchi 4 ga tengdir. ${\displaystyle ~{\frac {1}{2}}}$ kasrini 4 maxrajiga olib kelamiz. Buning uchun surat va maxrajni 2 ga koʻpaytiramiz. Natija ${\displaystyle ~{\frac {2}{4}}}$ ga tengdir.

Koʻpaytirish va boʻlish

Ikki oddiy kasrni koʻpaytirish uchun berilgan kasrlarning surat va maxrajlarini oʻzaro koʻpaytirish kerak:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$

Kasrni natural songa koʻpaytirish uchun suratni berilgan son bilan koʻpaytirish kerak. Maxrajni oʻziday qoldirish kerak:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2}$

Koʻpaytirishdan hosil boʻlgan kasrning surati va maxraji qisqarsa, ularni qisqartirish kerak. Masalan:

${\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.}$

Koʻpaytirishni qulaylashtirish uchun kasrlarni soddalashtirish mumkin. Bunda surat va maxrajdagi sonlar nisbati saqlanib, eng kichik qiymatlarga keltiriladi. Masalan:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\cancel {2}}^{~1}}{{\cancel {3}}^{~1}}}\times {\frac {{\cancel {3}}^{~1}}{{\cancel {4}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}$

Ikki oddiy kasrni boʻlish uchun birinchi kasrni ikkinchi kasrning teskarisiga koʻpaytirish kerak:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}},\quad c\neq 0.}$

Masalan:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}}.}$

Yozish usulini oʻzgartirish

Oddiy kasrni oʻnli kasr koʻrinishida yozish uchun suratni maxrajga boʻlish kerak. Natija chekli oʻnli belgiga ega boʻlishi yoki cheksiz davriy kasr boʻlishi mumkin. Misollar:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {5}{10}}=0{,}5}$

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0{,}142857142857142857\dots =0{,}(142857)}$ — cheksiz takrorlanuvchi davrni qavsga olib yozish qabul qilingan.

Oʻnli kasrni oddiy kasr koʻrinishida yozish uchun berilgan oʻnli kasrning kasr qismini 10 sonining mos keluvchi darajasiga boʻlib natural son koʻrinishida yozish kerak. Soʻngra kasr qism bilan butun qismni birlashtirib yozish zarur. Bunda aralash kasr hosil boʻladi. Misol:

${\displaystyle 71{,}1475=71+{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {59}{400}}.}$

Tarixi

Eng qadimgi kasrlar butun sonlarning teskari yozilgani boʻlgan. Bu qadimiy belgilar ikkining bir qismini, uchning bir qismini, toʻrtning bir qismini va hokazoni ifodalagan.^[3] Misrliklar misr kasrlaridan eramizdan avval taxminan 1000-yillarda foydalanishgan. Taxminan 4000-yil avval misrliklar sonlarni kasr bilan boʻlish uchun bir oz boshqacha uslublardan foydalanishgan. Ular surati bir boʻlgan kasrlar ustida amallar bajarish uchun eng kichik umumiy boʻluvchidan foydalanishgan. Ularning uslublari zamonaviy uslublar bilan bir xil natijalar bergan.^[4]

Yunonlar surati bir boʻlgan kasrlardan foydalanishgan. Eramizdan avvalgi taxminan 530-yilda yunon faylasufi Pifagorning shogirdlari ikkining kvadrat ildizini kasr koʻrinishida yozib boʻlmasligini aniqlashgan. Eramizdan avvalgi taxminan 150-yilda hindistonlik jainchi matematiklar „Sthananga sutra“ (talaffuzi: Sananga sutra) asarini yozishgan. Bu asarda sonlar teoriyasi, arifmetik amallar va kasrlar ustida amallar haqida yozilgan.

Bir sonni ikkinchisi ostida yozish va kasrlarni hisoblash usullari bizning eraning 499-yili atrofida Aryabhatta yozgan asarda uchraydi. Sanskrit adabiyotlarda kasrlar yoki ratsional sonlar doim butun son va uning ketidan kasr son koʻrinishida yozilgan. Kasr son butun son yozilgan qatorning ostiga yozilgan. Kasrning oʻzi ikki qatorda yozilgan. Birinchi qatorda yozilgan surat amsa deb atalgan, ikkinchi qatorga yozilgan maxraj cheda deb atalgan. Agar kasr biron-bir boshqa belgisiz yozilgan boʻlsa, demak bu kasrni yuqoridagi butun songa qoʻshish kerak boʻlgan deb tushuniladi. Agar kasrning oʻng tarafiga kichkina aylana yoki „+“ belgisi qoʻyilgan boʻlsa, bu kasrni butun sondan ayirish kerak boʻlgan deb tushuniladi. Masalan, hind matematigi Bhaskara I quyidagicha yozgan:

६ १ २

१ १ १_०

४ ५ ९

Yaʼni,

6 1 2

1 1 1_०

4 5 9

yozuvi 6+1/4, 1+1/5 va 2-1/9 ni ifodalagan.

Oʻrta asrlarda yashagan marokashlik musulmon matematik Abu Bakr al-Hassar birinchi marta surat va maxrajni ajratuvchi gorizontal chiziq haqida yozgan. Oʻz asarida al-Hassar: „…masalan, agar sizga beshdan uch va beshdan birning uchdan birini yoz deyishsa, bunday deb yozing: ${\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}$.“^[5] Kasrni shu uslubda yozish ozginadan keyin 13-asrda Leonardo Fibonaccining ishlarida ham uchraydi.^[6]

Oʻnli kasrlarning kelib chiqishi haqida Dirk Jan Struik bunday deb yozadi:^[7]

"Oʻnli kasrlarni hisobda ishlatishni keng foydalanishga kirgizgan asar deb 1585-yil Leydenda chop etilgan De Thiende flamand pamfletini aytish mumkin. Oʻsha paytda Niderlandiyada yashagan matematik Simon Stevin (1548-1620) asarni fransuz tiliga oʻgirgan. Xitoy matematiklari oʻnli kasrlardan Stevindan bir necha asr avval foydalanishgani rost. Fors astronomi Al-Kashi „Arifmetika kaliti“ asarida oltmishli sanoq sistemasidan va oʻnli kasrlardan foydalangani ham rost. (15-asr boshlari, Samarqand)^[8]"

Fors matematigi Jamshid al-Kashi oʻnli kasrlarni 15-asrda oʻylab topganman deb aytsa ham, J. Lennart Berggrenga koʻra u adashgan. Chunki oʻnli kasrlar undan 5 asr oldin, yaʼni 10-asrda yashagan bagʻdodlik matematik Abu'l-Hasan al-Uqlidisi ishlarida uchraydi.^[9] Matematika tarixchilari orasida al-Uqlidisi birinchilardan boʻlgani haqida har xil qarashlar boʻlsa ham, uning oʻnli kasr tushunchasiga katta hissa qoʻshganiga shubha yoʻq.^[10]

Manbalar

1. H. Wu, The Mis-Education of Mathematics Teachers, Notices of the American Mathematical Society, Volume 58, Issue 03 (March 2011), page 374
2. Galen, Leslie Blackwell (2004), „Putting Fractions in Their Place“ (PDF), American Mathematical Monthly, 111 (3), 2011-07-13da asl nusxadan (PDF) arxivlandi, qaraldi: 2013-02-05 {{citation}}: Unknown parameter |month= ignored (yordam)
3. Eves, Howard. An introduction to the history of mathematics, 6th ed., Philadelphia: Saunders College Pub., 1990. ISBN 0-03-029558-0.
4. Milo Gardner. „Egyaptian Math History“ (2008-yil 12-noyabr). Qaraldi: 2013-yil 10-fevral.
5. Cajori, Florian (1928), A History of Mathematical Notations (Vol.1) (PDF), La Salle, Illinois: The Open Court Publishing Company, 269-bet
6. (Cajori 1928, pg.89)
7. A Source Book in Mathematics 1200-1800. New Jersey: Princeton University Press, 1986. ISBN 0-691-02397-2.
8. Die Rechenkunst bei Ğamšīd b. Mas'ūd al-Kāšī. Wiesbaden: Steiner, 1951.
9. Berggren, J. Lennart „Mathematics in Medieval Islam“, . The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press, 2007 — 518-bet. ISBN 978-0-691-11485-9.
10. „Abu'l Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi“. Qaraldi: 2013-yil 10-fevral.

Havolalar

• Sonlar haqida tushuncha (Wayback Machine saytida 2012-06-19 sanasida arxivlangan), fikr.uz
• Kasr, Onlayn matematika ensiklopediyasi (inglizcha)
• Kasr, Citizendium (inglizcha)

Ushbu maqolada Oʻzbekiston milliy ensiklopediyasi (2000-2005) maʼlumotlaridan foydalanilgan.