کثیر اعداد کا قانون

کسی تجربہ کو بار بار دہرایا (آزمائش کی) جائے اور یہ آزمائش باہمی آزاد ہوں۔ فرض کرو کہ واقعہ A ان n آزمائشوں میں ${\displaystyle n_{A}}$ بار وقوع پزیر ہوتا ہے، تو واقعہ A کا تعدد کو یوں لکھتے ہیں

${\displaystyle f_{n}(A)={\frac {n_{A}}{n}}}$

اصطلاح	term
کثیر اعداد کا قانون تجربی قوّی ضعیف	Law of large numbers empirical strong weak

جو ایک عدد ہے صفر (0) اور ایک (1) کے درمیان۔ جس طرح آزمائش کی تعداد بڑھائی جائے گی، تو اس تعدد میں تغیر کم ہوتا چلا جائے گا اور جب آزمائش کی تعداد لامحدود کی طرف بڑھائی جائے گی تو یہ تعدد ایک حد کی طرف مرکوز ہو گا۔ اس قانون کو کثیر اعداد کا تجربی قانون کہا جاتا ہے۔

فرض کرو کہ ایک سکہ بار بار ہوا میں اچھالا جاتا ہے۔ اس کی نمونہ فضا Head اور Tail پر مشتمل ہے۔ آزمائش n پر ہم کہتے ہیں ${\displaystyle X_{n}}$ تصادفی متغیر ہے جو قدر 1 لیتا ہے اگر نتیجہ Head ہو اور قدر 0 لیتا ہے اگر نتیجہ Tail ہو۔ ${\displaystyle X_{n}(\omega )=\left\{{\begin{matrix}1,&{\texttt {if\,Head}}\\0,&{\texttt {if\,Tail}}\end{matrix}}\right\}}$

تعریف کرو

${\displaystyle T_{n}(\omega )=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}$

اب ہم توقع کریں گے کہ اس جمع کی اوسط 0.5 ہونی چاہیے، یعنی

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}(\omega )}{n}}={\frac {1}{2}}}$

مگر ایسے نتائج کا متوالیہ ${\displaystyle \omega }$ بھی ہوں گے جن میں "سر" (Head) کی تعداد محدود ہو گی، اس لیے ان متوالیہ کے لیے یہ حد مرکوز نہیں ہو گی۔ مگر ہم توقع کرتے ہیں کہ قدرت یہ یقینی بنائے گی کہ اس طرح کے متوالیہ کی تعداد خفیف ہو گی۔ احتمال نظریہ میں ہم یہ کہتے ہیں کہ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}(\omega )}{n}}={\frac {1}{2}}}$ سچ ہو گا، احتمال 1 کے ساتھ۔ یعنی

${\displaystyle \Pr \left(\left\{\omega$ :\lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}(\omega )}{n}}={\frac {1}{2}}\right\}\right)=1}

یہ کثیر اعداد کا قوی قانون ہے۔

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات