تقسیم احتمال

کسی نمونہ فضا کے ذیلی مجموعات کو احتمال اس طرح سونپا جاتا ہے کہ احتمال کے مسلمات پورے ہوتے ہوں۔ تصادفی متغیر ایک دالہ ہوتا ہے، جو نمونہ فضا کو اصل اعداد میں لے جاتا ہے۔ تصادفی متغیر X کے کسی عدد x سے کم ہونے کے احتمال کو بطور ایک فنکشن لکھا جاتا ہے،

${\displaystyle F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)}$

اصطلاح	term
تَراكُمی توزیع احتمال	cumulative distribution probability

اور اس فنکشن ${\displaystyle \ F_{X}(x)}$ کو "تَراكُمی توزیعِ احتمال" کہا جاتا ہے۔ تَراكُمی توزیعِ احتمال مندرجہ ذیل خصوصیات کی حامل ہوتی ہے:

${\displaystyle F_{X}(x)\geq 0,\forall x}$

${\displaystyle F_{X}(-\infty )=0}$

${\displaystyle F_{X}(\infty )=1}$

${\displaystyle F_{X}(x_{2})\geq F_{X}(x_{1})\,,\,\,\,x_{2}>x_{1}}$

متفرد

متفرد تصافی متغیر X کی احتمال کمیت تفاعل ${\displaystyle \ p_{X}(.)}$ کسی بھی عدد x کے لیے یوں تعریف ہوتی ہے

${\displaystyle p_{X}(x)=\Pr(X=x)=\Pr({\hbox{all }}s\in S:X(s)=x)}$

یعنی ${\displaystyle \ p_{X}(x)}$ اس احتمال کے برابر ہے کہ تصادفی متغیر X کی قدر x بنے۔ یہاں S نمونہ فضا ہے، جو تصادفی متغیر X کا ساحہ ہے۔ غور کرو کہ

${\displaystyle p_{X}(x)\geq 0}$

${\displaystyle p_{X}(x)\leq 1}$

${\displaystyle \ \sum _{x}p_{X}(x)=1}$

اب متفرد تصادفی متغیر X کی تَراكُمی توزیع احتمال تفاعل یوں تعریف ہو گی

${\displaystyle F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=\sum _{x:X(s)\leq x}p(x)}$

یعنی یہ احتمال کہ تصادفی متغیر X کی قدر x کے برابر یا اس سے کم ہو۔ غور کرو کہ

${\displaystyle F_{X}(x)\geq 0,\forall x}$

${\displaystyle F_{X}(-\infty )=0}$

${\displaystyle F_{X}(\infty )=1}$

متفرد تصادفی متغیر X کے لیے اس کے "احتمال کمیت تفاعل" ${\displaystyle \ p_{X}(x)}$ اور "تَراكُمی توزیع احتمال تفاعل" ${\displaystyle \ F_{X}(x)}$، دونوں کو "توزیعِ احتمال" پکارا جاتا ہے۔

تصویر 2: دو رقمی توزیع کی احتمال کمیت تفاعل ${\displaystyle \ p_{X}(.)}$

تصویر 3: دو رقمی توزیع کی تَراكُمی توزیع احتمال تفاعل ${\displaystyle \ F_{X}(.)}$

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال

تفصیلی مضمون: دو رقمی توزیع احتمال

بعض اوقات ایک ہی تجربہ کو متعدد بار دہرایا جاتا ہے (جیسے سکے کو بار بار فضا میں اچھالا جائے)۔ ایسے بار بار آزمائش میں فرض کرو کہ:

• دو ممکنہ نتائج ہیں، "کامیابی" اور "ناکامی"
• ہر آزمائش پر "کامیابی" کا احتمال p ہے اور "ناکامی" کا احتمال ${\displaystyle \ 1-p}$
• آزمائش کی تعداد n ہے
• ہر آزمائش دوسری آزمائشوں سے آزاد ہے

فرض کرو کہ تصادفی متغیر X ہے، جو ان n آزمائشوں میں "کامیابی" کی تعداد ظاہر کرتا ہے۔ اس متفرد تصادفی متغیر کا حیطہ

${\displaystyle \{0,1,2,\cdots ,n\}}$

ہے اور توزیعِ احتمال

${\displaystyle p_{X}(x)={\frac {n!}{x!(n-x)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}}$

اس توزیع احتمال کو "دو رقمی توزیع" کے نام سے پکارا جاتا ہے۔ ( یہاں ! کی علامت عامِلیہ کو ظاہر کرتی ہے۔)

متواصل

متواصل تصافی متغیر X کی احتمال کثافت دالہ ${\displaystyle \ f_{X}(.)}$ کی مدد سے تصادفی متغیر X کی قدر وقفہ ${\displaystyle \ (a,b)}$ میں ہونے کا احتمال یوں لکھا جا سکتا ہے:

${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)dx}$

یعنی یہ احتمال دالہ ${\displaystyle \ f_{X}(x)}$ کے نیچے a سے b تک رقبہ کے برابر ہے۔ "احتمال کثافت تفاعل" مندرجہ ذیل خصوصیات کی حامل ہوتی ہے:

${\displaystyle f_{X}(x)\geq 0}$

${\displaystyle \ \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)dx=1}$

اب متواصل تصادفی متغیر X کی تَراكُمی توزیع احتمال تفاعل یوں تعریف ہو گی

${\displaystyle F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(x)dx}$

یعنی یہ احتمال کہ تصادفی متغیر X کی قدر x سے کم ہو۔ غور کرو کہ

${\displaystyle F_{X}(x)\geq 0,\forall x}$

${\displaystyle F_{X}(-\infty )=0}$

${\displaystyle F_{X}(\infty )=1}$

${\displaystyle F_{X}(x_{2})\geq F_{X}(x_{1})\,,\,\,\,\,x_{2}>x_{1}}$

ان تعاریف سے پتہ چلتا ہے کہ

${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=\Pr(X\leq b)-\Pr(X\leq a)}$

${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)dx}$

مثال

گاسین توزیع احتمال کی "احتمال کثافت تفاعل"۔ سبز رنگ میں معیاری گاسین توزیع احتمال ہے۔

گاسین توزیع احتمال کی "تراکمی توزیع تفاعل"۔ رنگ اوپر والی تصویر کے موافق ہیں۔

سب سے مشہور متواصل توزیع احتمال، گاسین توزیع احتمال ہے، جس کی "احتمال کثافت تفاعل" تصادفی متغیر X کے لیے یوں لکھی جاتی ہے

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\!}$

جبکہ اس کی متوقع قدر

${\displaystyle \ \mu =E(X)}$

اور تفاوت

${\displaystyle \ \sigma ^{2}=Var(X)}$

ہیں۔ معیاری گاسین "احتمال کثافت تفاعل" (سبز) کے لیے ${\displaystyle \mu =0}$ اور ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$

مزید دیکھیے

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات

ویکی ذخائر پر تقسیم احتمال سے متعلق سمعی و بصری مواد ملاحظہ کریں۔