فاصلہ (ریاضی)

ایسی لکیری فضا جہاں اندرونی حاصل ضرب تعریف ہوا ہو، میں دو سمتیوں ${\displaystyle \ u}$ اور ${\displaystyle \ v}$ (فضا میں دو نکتوں) کے درمیان فاصلہ ${\displaystyle \ d(u,v)}$ یوں تعریف کیا جاتا ہے:

${\displaystyle d(u,v)=\|u-v\|}$

جہاں ${\displaystyle \|.\|}$ لکیری فضا پر امثولہ کو ظاہر کرتا ہے۔

اقلیدسی فضا میں فاصلہ

اقلیدسی فضا ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ میں سمتیہ ${\displaystyle \mathbf {u} =\left[{\begin{matrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\u_{n-1}\end{matrix}}\right]}$ اور سمتیہ ${\displaystyle \mathbf {v} =\left[{\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{matrix}}\right]}$ کے درمیان فاصلے کی تعریف یوں ہو سکتی ہے (اقلیدسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی مقبول تعریف استعمال کرتے ہوئے):

${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\sqrt {{(u_{0}-v_{0})}^{2}+{(u_{1}-v_{1})}^{2}+\cdots +{(u_{n-1}-v_{n-1})}^{2}}}}$

دیکھو کہ یہ اقلیدسی ہندسہ میں دو نکتوں کے درمیان فاصلے کی تعریف ہے۔ غور کرو کہ فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی تعریف بدلنے سے "فاصلے" کی تعریف بھی مختلف ہو گی۔

فاصلہ کی خصوصیات

اقلیدسی ہندسہ سے فاصلے کی جن خصوصیات سے پم واقف ہیں، فاصلہ کی تعریف ان پر پورا اترتی ہے۔ یہ خصوصیات یوں ہیں (یہاں ${\displaystyle \ u}$، ${\displaystyle \ v}$ اور ${\displaystyle \ w}$ کسی لکیری فضا میں سمتیہ ہیں) :

1. ${\displaystyle \ d(u,v)\geq 0}$
2. ${\displaystyle \ d(u,v)=0}$ اگر بشرطِ اگر ${\displaystyle u=v}$
3. ${\displaystyle \ d(u,v)=d(v,u)}$
4. ${\displaystyle \ d(u,v)\leq d(u,w)+d(w,v)}$    تکون نامساوات

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات