صدک

متغیر کی ایسی قدر کو p% صدک کہیں گے جس سے مشاہد کی p% فیصد تعداد کی قدر کم واقع ہو۔ ِ

اصطلاح	term
صَدک فیصد	percentile, centile percent

مثال

فرض کرو کہ امتحان میں دس طالب علموں کے 50 میں سے بالترتیب

طالب علم #	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
درست جواب	3	4	21	16	18	8	32	31	28	12

سوال صیح ہوتے ہیں۔ اب طالب علم #3 کے 50 میں سے 21 جواب درست ہیں، یعنی 42 فیصد۔ مگر 10 میں سے 4 طالب علم ایسے ہیں جن کے 21 یا زیادہ جواب درست ہیں۔ اس لیے اس طالب علم کا صَدک 60% ہو گا، کیونکہ

${\displaystyle 1-{\frac {4}{10}}=0.6}$

تعلیمی نظام میں صدک کے استعمال کا فائدہ یہ ہوتا ہے کہ استاد مشکل پرچہ بنانے میں آزاد ہوتا ہے، کیونکہ تمام طالب علموں کی مجموعی کارکردگی کو پیش نظر رکھ کر درجہ تفویض کیا جاتا ہے۔

طالب علموں کی زیادہ تعداد ہو تو histogram بنایا جا سکتا ہے، جو عموماً معمول توزیع کی صورت اختیار کرتا ہے۔ اس کے بعد قاعدہ بنایا جا سکتا ہے کہ 80% صدک کو "درجہ الف" دیا جائے، 60% صَدک کو "درجہ ب"، وغیرہ۔

احتمال و احصاء میں صدک

احتمال نظریہ میں صدک کا استعمال عموماً کیا جاتا ہے، خصوصاً معمول توزیع کے ضمن میں۔ کسی عدد p، جہاں ${\displaystyle \ 0<p<1}$ اور کسی تصادفی متغیر X کے لیے ${\displaystyle \ 100p\%}$صدک عدد ${\displaystyle x_{p}}$ ہو گا، جو درجہ ذیل مساوات سے تعریف ہوتا ہے

${\displaystyle \Pr(X<x_{p})=p}$

یعنی تصادفی متغیر کی "احتمال کثافت تفاعل" کے نیچے ${\displaystyle x_{p}}$ سے بائیں طرف کا رقبہ p ہو گا۔

معیاری معمول توزیع شدہ تصادفی متغیر W کے ${\displaystyle \ 100p\%}$صدک عدد ${\displaystyle w_{p}}$ درج ذیل مساوات سے تعریف ہو گا

${\displaystyle \Phi (w_{p})=p}$

معیاری معمول توزیع کے صدک کو جانتے ہوئے کسی بھی معمول توزیع شدہ تصادفی متغیر X جس کی اوسط ${\displaystyle \mu }$ ہو اور معیاری انحراف ${\displaystyle \sigma }$، کا ${\displaystyle \ 100p\%}$ صدک ${\displaystyle x_{p}}$ یوں ہو گا

${\displaystyle x_{p}=\mu +\sigma w_{p}}$

کیونکہ

${\displaystyle \Pr(X<x_{p})=\Phi \left({\frac {x_{p}-\mu }{\sigma }}\right)}$

مثال 1

ایک کام دکان (workshop) میں گاڑی کی مرمت میں اوسطاً 70منٹ لگتے ہیں، جبکہ مرمت کے وقت کا معیاری انحراف 40 منٹ ہے۔ اس وقت کو معمول توزیع شدہ سمجھتے ہوئے، ہم جاننا چاہتے ہیں کہ 95% cases میں مرمت کا دورانیہ کتنا زیادہ ہو گا؟ معیاری معمول توزیع کا 95% صدک ${\displaystyle w_{0.95}=1.6449}$ ہے، اس لیے 95 فیصدی گاڑیوں کے لیے مرمت کا دورانیہ

${\displaystyle x_{0.95}=70+1.6449\times 40=136}$

منٹ (سوا دو گھنٹے) سے کم ہو گا۔

مثال 2

ایک دکان دار کی روزانہ اوسطاً دس ہزار کی بِکری (sale) ہوتی ہے۔ دکان دار کے لیے بِکری کا معیاری انحراف بتانا مشکل ہے، مگر وہ قدرے آسانی سے بتا سکتا ہے کہ پانچ فیصد دِن بکری اٹھارہ ہزار سے زیادہ ہوتی ہے۔ یہ سمجھتے ہوئے کہ بکری کی توزیع معمول ہے، ہم معیاری انحراف معلوم کر سکتے ہیں:

${\displaystyle \mu =10000,\,x_{0.95}=18000,\,18000=10000+1.6449\times \sigma ,\,\sigma =4864}$

مزید دیکھیے

• سائیلیب help histplot

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات