Узагальнена функція

Узагальнена фу́нкція або розподіл — математичне поняття, що узагальнює класичне поняття функції. Потреба в такому узагальненні виникає в багатьох фізичних, технічних і математичних задачах.

Поняття узагальненої функції дає можливість виразити в математично коректній формі такі ідеалізовані поняття, як густина матеріальної точки, точкового заряду, точкового диполя, (просторову) густину простого або подвійного шару, інтенсивність миттєвого джерела і т. п.

З іншого боку, у понятті узагальненої функції знаходить висвітлення той факт, що реально не можна виміряти значення фізичної величини в точці, а можна вимірювати лише її середні значення в малих околах даної точки. Таким чином, метод узагальнених функцій слугує зручним і адекватним апаратом для опису розподілів різних фізичних величин.

Узагальнені функції було введено вперше наприкінці 20-х років XX ст. Діраком у його дослідженнях із квантової механіки, де він систематично використовує поняття δ-функції та її похідних. Основи математичної теорії узагальнених функцій були закладені Соболєвим при розв'язку задачі Коші для гіперболічних рівнянь, а в 50-х роках Шварц дав систематичний виклад теорії узагальнених функцій і вказав багато застосувань.

Основні означення

Формально узагальнена функція ${\displaystyle f}$ означається як лінійний неперервний функціонал над тим чи іншим векторним простором достатньо «хороших функцій» (так званих основних функцій) ${\displaystyle f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi )}$. Важливим прикладом основного простору є простір ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$ — сукупність фінітних ${\displaystyle C^{\infty }}$-функцій (нескінченно-диференційовних) ${\displaystyle \phi }$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Спряжений простір до ${\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})}$ є простором узагальнених функцій ${\displaystyle D'(\mathbb {R} ^{n})}$

Див. також

• Функція (філософія)

Джерела

• H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4е видання, World Scientific (Singapore, 2006). Глава 11.