Теорема Пікара — Лінделефа

Теорема Пікара — Лінделефа — математична теорема про існування і єдиність розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Твердження

Нехай маємо звичайне диференціальне рівняння:

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

Нехай функція у правій частині ${\displaystyle f:\Pi \to \mathbb {R} }$ визначена у деякому прямокутнику ${\displaystyle \Pi$ :=\{(t,y)\in \mathbb {R} ^{2}:|t-t_{0}|\leqslant a,|y-y_{0}|\leqslant b\}} є неперервною по першому аргументу і задовольняє умову Ліпшіца щодо другого аргументу, тобто існує додатне число L, що для будь-яких точок (t, y^*) і (t, y^**) з прямокутника ${\displaystyle \Pi }$ виконується умова:

${\displaystyle |f(t,y^{*})-f(t,y^{**})|\leqslant L|y^{*}-y^{**}|.}$

Тоді на відрізку ${\displaystyle t\in [t_{0}-\epsilon ,t_{0}+\epsilon ],}$ де ${\displaystyle \epsilon$ :=\min \left(a,{\frac {b}{M}}\right),\,M:=\max _{(t,y)\in \Pi }|f(t,y)|} задача Коші має єдиний розв'язок.

Література

• Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 600. ISBN 966-06-0249-9.(укр.)
• Арнольд В. И. (2014). Обыкновенные дифференциальные уравнения (PDF). М: МЦНМО. с. 341. ISBN 978-5-4439-2007-8.(рос.)