Теорема Безу

Теорема Безу — теорема про остачу від ділення многочлена на двочлен, названа на честь французького математика Етьєна Безу.

Формулювання

Остача від ділення многочлена ${\displaystyle \ P(x)}$ на двочлен ${\displaystyle (x-a)\,}$ дорівнює ${\displaystyle P(a)\,}$. Також многочлен степеня n над полем C буде мати не більше за n коренів.

Наслідок

• Число a є коренем многочлена ${\displaystyle P(x)\,}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle P(x)\,}$ ділиться без остачі на двочлен ${\displaystyle (x-a)\,}$.

Доведення теореми Безу

Якщо ділення многочлена ${\displaystyle P(x)\,}$ на двочлен ${\displaystyle (x-a)\,}$ дає остачу ${\displaystyle R}$ (${\displaystyle R={\mbox{const}}\,}$), тоді ${\displaystyle P(x)\,}$ можна записати у вигляді

${\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+R\,}$,

де ${\displaystyle Q(x)\,}$ — многочлен нижчого степеня (${\displaystyle \deg Q(x)<\deg P(x)\,}$)

Значення ${\displaystyle P(x)\,}$ в точці ${\displaystyle a\,}$ дорівнює ${\displaystyle P(a)=(a-a)Q(a)+R=R\,}$, що й треба довести.

${\displaystyle P(a)=0\,}$ (тобто число a є корнем многочлена) тоді й тільки тоді, коли ${\displaystyle R=0\,}$.

Див. також

• Основна теорема алгебри

Джерела

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)