Симплектичний многовид
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Симплектичний многовид — це многовид із заданою на ньому симплектичною формою, тобто замкнутою невиродженою диференціальною 2-формою.
Симплектичний многовид дозволяє природним геометричним чином ввести механіку Гамільтона і дає наочне тлумачення багатьом її властивостям.
Диференціальна 2-форма називається симплектичною структурою, якщо вона невироджена і замкнута, тобто її зовнішня похідна дорівнює нулю:
і для будь-якого ненульового дотичного вектора
де — операція підстановки вектора .
Многовид називається симплектичним, якщо на ньому задана симплектична структура.
Нехай — довільна функція на симплектичному многовиді. Симплектична структура ставить у відповідність 1-формам на особливий клас векторних полів, які називаються гамільтоновими, за правилом
В силу невиродженості форми векторне поле визначене однозначно, позначимо його . У канонічних координатах це відображення набуває вигляду
що відповідає рівнянням Гамільтона, при цьому називається функцією Гамільтона або гамільтоніаном. Дужки Пуассона перетворюють множину гамільтоніанів на у алгебру Лі і визначені за правилом
З кожним симплектичним 2n-мірним многовидом канонічним чином пов'язаний (2n + 1)-мірним контактний многовид, званий його контактизацією. Обернено, для будь-якого (2n + 1)-мірного контактного многовиду існує його симплектизація, що є (2n + 2)-мірним многовидом.
Многовид називається мультисимплектичним ступня , якщо на ньому задана замкнута невироджена диференціальна k-форма.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.