Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Симплекс або n-вимірний тетраедр (від лат. simplex — простий) — геометрична фігура, що є багатовимірним узагальненням трикутника і тетраедра. Визначається як опукла оболонка n+1 точок, що не лежать в одній n-1 -вимірній гіперплощині. Ці точки називаються вершинами симплекса.
Формально, симплексом розмірності є множина яка складається з дійсних функцій визначених на множині які задовільняють двом умовам:
та
Елементи є вершинами, а функції - точками симплекса значення яких на вершинах симплекса називаються барицентричними координатами точки Відстань між двома точками симплекса визначається формулою Топологічний простір, утворений таким чином, називається простором симплекса Барицентричні координати є неперервними функціями на просторі симплекса.
Як відомо, через будь-які n точок можна провести (n-1)-площину і існують множини з n+1 точок, через які (n-1)-площину провести не можна. Таким чином n+1 — мінімальна кількість точок в n-просторі, які не лежать в одній (n-1)-площині, і можуть бути вершинами n-многогранника, тобто, n-симплекс являє собою джойн n+1 точок.
Простий n-многогранник з кількістю вершин n+1 називається симплексом. У просторах найменших розмірностей цьому визначенню відповідають 4 фігури:
Всі ці фігури володіють трьома загальними властивостями:
Симплекс має n+1 вершин, кожна з яких сполучена ребрами зі всією рештою вершин.
Оскільки всі вершини симплекса сполучені між собою, то тією ж властивістю володіє і будь-яка підмножина його вершин. Це значить, що будь-яка підмножина з L+1 вершин симплекса визначають його L-вимірну грань, і ця грань сама є L-симплексом. Тоді для симплекса число L-вимірних граней рівне числу способів вибрати L+1 вершину з повного набору n+1 вершин.
Позначимо символом K(L, n) число L-вимірних граней в n-многограннику, тоді для n-симплекса
де — число комбінацій з n по m.
Зокрема, кількість граней найбільшої розмірності рівна кількості вершин і рівна n+1:
Стандартний n-симплекс ця підмножина , що визначається як:
Його вершинами є точки:
Існує канонічне бієктивне відображення стандартного n-симплекса в будь-якій іншої n-симплекс з координатами вершин :
Значення ti для даної точки називаються її барицентричними координатами.
Альтернативну координатну систему можна визначити взявши:
Тоді точки симплекса визначаються векторами з неспадними координатами між 0 and 1:
Симплекс називається правильним, якщо всі його ребра мають однакову довжину: наприклад, правильний трикутник або правильний тетраедр. Правильний симплекс завжди є правильним многогранником.
Орієнтований об'єм n-симплекса в n-вимірному евклідовому просторі можна визначити за формулою:
Визначник Келі-Менгера дозволяє обчислити об'єм симплекса, знаючи довжини його ребер:
де — відстань між i-й і j-й вершинами, n — розмірність простору. Ця формула — узагальнення формули Герона для трикутників.
Об'єм правильного n-симплекса з одиничною стороною рівний
Якщо задано додатних дійсних чисел то симплекс відстань між відповідними вершинами якого рівна цим числам існує тоді і тільки тоді, коли де матриця D визначається:
Еквівалентно такий симплекс існує, якщо і тільки якщо квадратна матриця A розмірності n елементи якої визначаються:
є додатноозначеною. Дана матриця є матрицею Грама для векторів
Число L-вимірних граней | |||||
Висота | |||||
Об'єм | |||||
Радіус описаної сфери | |||||
Радіус вписаної сфери | |||||
Двогранний кут |
Співвідношення між величинами:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.